Номер 17.17, страница 187 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

17.17. Ребро $BD$ тетраэдра $DABC$ равно 4 см. Найдите расстояние от точки $B$ до плоскости $DAC$, если известно, что $\angle ADC = 90^\circ$, $\angle BDC = 45^\circ$, $\angle BDA = 120^\circ$.

Расстояние от точки до плоскости — это длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на плоскость. В случае тетраэдра $DABC$ расстояние от вершины $B$ до плоскости основания $DAC$ является высотой $h$ тетраэдра, проведенной из вершины $B$.

Объем тетраэдра $V$ можно вычислить по формуле:$V = \frac{1}{3} S_{DAC} \cdot h$, где $S_{DAC}$ — площадь основания $DAC$, а $h$ — искомое расстояние.

Отсюда, $h = \frac{3V}{S_{DAC}}$.

Найдем объем тетраэдра и площадь основания.

1. Вычисление объема тетраэдра ($V$).

Объем тетраэдра, построенного на трех векторах, выходящих из одной вершины, можно найти по формуле, использующей длины ребер и углы между ними. Пусть ребра, выходящие из вершины $D$, имеют длины $|DA|=a$, $|DC|=c$ и $|DB|=4$ см. Углы между этими ребрами: $\angle BDA = 120^\circ$, $\angle BDC = 45^\circ$, $\angle ADC = 90^\circ$.

Формула для объема:$V = \frac{1}{6} |DA| \cdot |DB| \cdot |DC| \cdot \sqrt{1 - \cos^2(\angle BDA) - \cos^2(\angle BDC) - \cos^2(\angle ADC) + 2\cos(\angle BDA)\cos(\angle BDC)\cos(\angle ADC)}$

Подставим известные значения углов:$\cos(\angle BDA) = \cos(120^\circ) = - \frac{1}{2}$$\cos(\angle BDC) = \cos(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$$\cos(\angle ADC) = \cos(90^\circ) = 0$

Теперь подставим эти значения в формулу объема:$V = \frac{1}{6} \cdot a \cdot 4 \cdot c \cdot \sqrt{1 - \left(-\frac{1}{2}\right)^2 - \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 - 0^2 + 2 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) \cdot \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) \cdot 0}$$V = \frac{2ac}{3} \sqrt{1 - \frac{1}{4} - \frac{2}{4} - 0 + 0}$$V = \frac{2ac}{3} \sqrt{1 - \frac{3}{4}}$$V = \frac{2ac}{3} \sqrt{\frac{1}{4}}$$V = \frac{2ac}{3} \cdot \frac{1}{2}$$V = \frac{ac}{3}$

2. Вычисление площади основания ($S_{DAC}$).

Основание $DAC$ — это треугольник со сторонами $DA=a$ и $DC=c$, и углом между ними $\angle ADC = 90^\circ$. Площадь этого прямоугольного треугольника вычисляется по формуле:$S_{DAC} = \frac{1}{2} |DA| \cdot |DC| \cdot \sin(\angle ADC)$$S_{DAC} = \frac{1}{2} ac \cdot \sin(90^\circ)$$S_{DAC} = \frac{1}{2} ac \cdot 1 = \frac{ac}{2}$

3. Вычисление расстояния ($h$).

Теперь, зная объем и площадь основания, мы можем найти высоту (искомое расстояние):$h = \frac{3V}{S_{DAC}} = \frac{3 \cdot \frac{ac}{3}}{\frac{ac}{2}} = \frac{ac}{\frac{ac}{2}} = 2$

Таким образом, расстояние от точки $B$ до плоскости $DAC$ равно 2 см.

Ответ: 2 см.