Номер 17.16, страница 187 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

17.16. Основанием призмы $ABCA_1B_1C_1$ является равносторонний треугольник. Найдите расстояние между плоскостями оснований призмы, если известно, что $AA_1 = 6$ см, $\cos\angle A_1AC = \frac{1}{3}$, $\cos\angle A_1AB = \frac{2}{3}$.

Расстояние между плоскостями оснований призмы является ее высотой $H$. Для нахождения высоты воспользуемся методом координат.

Введем декартову систему координат. Поместим вершину $A$ основания в начало координат $A(0, 0, 0)$. Поскольку основание $ABC$ — равносторонний треугольник, расположим его в плоскости $Oxy$. Пусть сторона основания равна $a$. Направим ось $Ox$ вдоль ребра $AB$.

Тогда координаты вершин основания будут следующими:$A(0, 0, 0)$, $B(a, 0, 0)$, $C(a \cos 60^\circ, a \sin 60^\circ, 0) = C(\frac{a}{2}, \frac{a\sqrt{3}}{2}, 0)$.

Векторы, соответствующие сторонам основания, исходящим из вершины $A$: $\vec{AB} = (a, 0, 0)$ и $\vec{AC} = (\frac{a}{2}, \frac{a\sqrt{3}}{2}, 0)$.

Пусть вершина $A_1$ имеет координаты $(x, y, z)$. Тогда вектор бокового ребра $\vec{AA_1} = (x, y, z)$. Высота призмы $H$ в данной системе координат равна модулю аппликаты точки $A_1$, то есть $H = |z|$.

По условию, длина бокового ребра $AA_1 = 6$ см. Следовательно, $|\vec{AA_1}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2} = 6$. Возведя в квадрат, получим первое уравнение: $x^2 + y^2 + z^2 = 36$.

Теперь используем данные об углах. Угол $\angle A_1AB$ — это угол между векторами $\vec{AA_1}$ и $\vec{AB}$. Косинус этого угла выражается через скалярное произведение:

$\cos\angle A_1AB = \frac{\vec{AA_1} \cdot \vec{AB}}{|\vec{AA_1}| \cdot |\vec{AB}|}$

Подставим известные значения: $\cos\angle A_1AB = \frac{2}{3}$, $|\vec{AA_1}| = 6$, $|\vec{AB}| = a$. Скалярное произведение $\vec{AA_1} \cdot \vec{AB} = x \cdot a + y \cdot 0 + z \cdot 0 = ax$.

$\frac{2}{3} = \frac{ax}{6 \cdot a}$

Сократив на $a$ (так как $a \ne 0$), получаем: $\frac{2}{3} = \frac{x}{6}$, откуда $3x = 12$, то есть $x=4$.

Аналогично, угол $\angle A_1AC$ — это угол между векторами $\vec{AA_1}$ и $\vec{AC}$.

$\cos\angle A_1AC = \frac{\vec{AA_1} \cdot \vec{AC}}{|\vec{AA_1}| \cdot |\vec{AC}|}$

Подставим известные значения: $\cos\angle A_1AC = \frac{1}{3}$, $|\vec{AA_1}| = 6$, $|\vec{AC}| = a$. Скалярное произведение $\vec{AA_1} \cdot \vec{AC} = x \cdot \frac{a}{2} + y \cdot \frac{a\sqrt{3}}{2} + z \cdot 0 = \frac{a(x + y\sqrt{3})}{2}$.

$\frac{1}{3} = \frac{\frac{a(x + y\sqrt{3})}{2}}{6 \cdot a}$

Сократив на $a$, получаем: $\frac{1}{3} = \frac{x + y\sqrt{3}}{12}$, откуда $12 = 3(x + y\sqrt{3})$, или $4 = x + y\sqrt{3}$.

Мы получили систему уравнений для определения координат $(x,y,z)$ точки $A_1$:

$\begin{cases}x = 4 \\x + y\sqrt{3} = 4 \\x^2 + y^2 + z^2 = 36\end{cases}$

Подставим $x=4$ во второе уравнение: $4 + y\sqrt{3} = 4$, что дает $y\sqrt{3} = 0$, и следовательно, $y=0$.

Подставим $x=4$ и $y=0$ в третье уравнение:

$4^2 + 0^2 + z^2 = 36$

$16 + z^2 = 36$

$z^2 = 36 - 16 = 20$

$z = \sqrt{20} = \sqrt{4 \cdot 5} = 2\sqrt{5}$ (берем положительное значение, так как высота — неотрицательная величина).

Таким образом, высота призмы $H = z = 2\sqrt{5}$ см.

Ответ: $2\sqrt{5}$ см.