Номер 17.12, страница 186 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

17.12. Все плоские углы трёхгранного угла равны. Докажите, что все его двугранные углы больше $60^\circ$.

Пусть дан трёхгранный угол с вершиной $S$ и рёбрами $a, b, c$. По условию, все его плоские углы равны. Обозначим величину каждого плоского угла через $\alpha$.

Для того чтобы трёхгранный угол существовал, необходимо выполнение двух условий:
1. Сумма любых двух плоских углов больше третьего: $\alpha + \alpha > \alpha$, что упрощается до $\alpha > 0^\circ$.
2. Сумма всех плоских углов меньше $360^\circ$: $\alpha + \alpha + \alpha < 360^\circ$, что даёт $3\alpha < 360^\circ$, или $\alpha < 120^\circ$.
Таким образом, величина плоского угла $\alpha$ находится в пределах $0^\circ < \alpha < 120^\circ$.

Поскольку все плоские углы равны, то и все двугранные углы этого трёхгранного угла также равны между собой. Обозначим величину каждого двугранного угла через $A$. Для нахождения связи между плоским и двугранным углами в таком "правильном" трёхгранном угле воспользуемся теоремой косинусов для трёхгранного угла. Она связывает один из двугранных углов с тремя плоскими углами. Для двугранного угла $A$ при ребре $a$ формула выглядит так:

$\cos A = \frac{\cos\alpha - \cos\alpha \cdot \cos\alpha}{\sin\alpha \cdot \sin\alpha}$

Упростим это выражение:
$\cos A = \frac{\cos\alpha - \cos^2\alpha}{\sin^2\alpha} = \frac{\cos\alpha(1 - \cos\alpha)}{1 - \cos^2\alpha}$
Разложим знаменатель по формуле разности квадратов: $1 - \cos^2\alpha = (1 - \cos\alpha)(1 + \cos\alpha)$.
$\cos A = \frac{\cos\alpha(1 - \cos\alpha)}{(1 - \cos\alpha)(1 + \cos\alpha)}$

Так как $\alpha > 0^\circ$, то $\cos\alpha < 1$, и следовательно, $1 - \cos\alpha \neq 0$. Мы можем сократить дробь на $(1 - \cos\alpha)$:
$\cos A = \frac{\cos\alpha}{1 + \cos\alpha}$

Теперь нам нужно доказать, что $A > 60^\circ$. Поскольку функция $y = \cos x$ является убывающей на интервале $(0^\circ, 180^\circ)$, в котором лежат значения двугранных углов, неравенство $A > 60^\circ$ эквивалентно неравенству $\cos A < \cos 60^\circ$.
Так как $\cos 60^\circ = \frac{1}{2}$, нам нужно доказать неравенство:
$\frac{\cos\alpha}{1 + \cos\alpha} < \frac{1}{2}$

Из условия $0^\circ < \alpha < 120^\circ$ следует, что $\cos\alpha > \cos 120^\circ = -0.5$. Поэтому знаменатель $1 + \cos\alpha > 1 - 0.5 = 0.5 > 0$. Так как знаменатель положителен, мы можем умножить обе части неравенства на $2(1 + \cos\alpha)$, не меняя знака неравенства:
$2\cos\alpha < 1 + \cos\alpha$
Вычтем $\cos\alpha$ из обеих частей:
$\cos\alpha < 1$

Это неравенство всегда истинно, так как $\alpha > 0^\circ$, что является необходимым условием для существования невырожденного трёхгранного угла.
Таким образом, мы доказали, что $\cos A < \frac{1}{2}$, а значит $A > 60^\circ$. Поскольку все двугранные углы равны, то все они больше $60^\circ$.

Ответ: Что и требовалось доказать.