Номер 17.7, страница 186 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

17.7. Плоские углы $ASB$ и $ASC$ трёхгранного угла $SABC$ соответственно равны $90^\circ$ и $60^\circ$. Двугранный угол при ребре $SB$ равен $45^\circ$. Найдите плоский угол $BSC$.

Для решения задачи о трехгранном угле $SABC$ воспользуемся методами сферической тригонометрии.Пусть плоские углы при вершине $S$ будут сторонами сферического треугольника $ABC$, образованного пересечением лучей $SA, SB, SC$ со сферой единичного радиуса с центром в точке $S$.

Обозначим стороны сферического треугольника, соответствующие плоским углам:

• $c = \angle ASB = 90^\circ$
• $b = \angle ASC = 60^\circ$
• $a = \angle BSC$ (этот угол нам нужно найти)

Углы сферического треугольника $A, B, C$ равны двугранным углам при ребрах $SA, SB, SC$ соответственно. По условию, двугранный угол при ребре $SB$ равен $45^\circ$, следовательно, угол $B$ сферического треугольника равен $45^\circ$.

Теперь у нас есть сферический треугольник $ABC$, в котором известны две стороны ($b$ и $c$) и угол, противолежащий одной из них ($B$). Для нахождения стороны $a$ применим теорему косинусов для сторон сферического треугольника:

$\cos b = \cos a \cos c + \sin a \sin c \cos B$

Подставим известные значения в формулу:

$\cos 60^\circ = \cos a \cdot \cos 90^\circ + \sin a \cdot \sin 90^\circ \cdot \cos 45^\circ$

Зная значения тригонометрических функций, получаем:

$\frac{1}{2} = \cos a \cdot 0 + \sin a \cdot 1 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\frac{1}{2} = \sin a \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$

Из этого уравнения выразим $\sin a$:

$\sin a = \frac{1/2}{\sqrt{2}/2} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Поскольку $a$ — это плоский угол трехгранного угла, его значение должно находиться в интервале от $0^\circ$ до $180^\circ$. В этом интервале уравнение $\sin a = \frac{\sqrt{2}}{2}$ имеет два решения:

$a_1 = 45^\circ$

$a_2 = 180^\circ - 45^\circ = 135^\circ$

Необходимо проверить, удовлетворяют ли оба найденных значения условиям существования трехгранного угла. Основное условие — сумма любых двух плоских углов должна быть больше третьего.

Случай 1: $a = 45^\circ$. Плоские углы равны $45^\circ, 60^\circ, 90^\circ$.

• $45^\circ + 60^\circ = 105^\circ > 90^\circ$ (верно)
• $45^\circ + 90^\circ = 135^\circ > 60^\circ$ (верно)
• $60^\circ + 90^\circ = 150^\circ > 45^\circ$ (верно)

Все неравенства выполняются, значит, это решение возможно.

Случай 2: $a = 135^\circ$. Плоские углы равны $135^\circ, 60^\circ, 90^\circ$.

• $135^\circ + 60^\circ = 195^\circ > 90^\circ$ (верно)
• $135^\circ + 90^\circ = 225^\circ > 60^\circ$ (верно)
• $60^\circ + 90^\circ = 150^\circ > 135^\circ$ (верно)

Все неравенства выполняются, значит, это решение также возможно.

Таким образом, задача имеет два геометрически возможных решения.

Ответ: $45^\circ$ или $135^\circ$.