Номер 17.2, страница 186 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

17.2. Докажите, что если плоские углы $ASB$, $BSC$ и $CSA$ трёхгранного угла $SABC$ соответственно равны плоским углам $A_1 S_1 B_1$, $B_1 S_1 C_1$ и $C_1 S_1 A_1$ трёхгранного угла $S_1 A_1 B_1 C_1$, то двугранные углы при рёбрах $SA$, $SB$ и $SC$ соответственно равны двугранным углам при рёбрах $S_1 A_1$, $S_1 B_1$ и $S_1 C_1$.

Это утверждение является первой теоремой о равенстве трёхгранных углов. Для доказательства воспользуемся теоремой косинусов для трёхгранного угла.

Рассмотрим трёхгранный угол $SABC$. Обозначим его плоские углы: $∠ASB = \gamma$, $∠BSC = \alpha$, $∠CSA = \beta$.

Аналогично для трёхгранного угла $S_1A_1B_1C_1$ обозначим плоские углы: $∠A_1S_1B_1 = \gamma_1$, $∠B_1S_1C_1 = \alpha_1$, $∠C_1S_1A_1 = \beta_1$.

По условию задачи дано, что соответствующие плоские углы равны:

$\gamma = \gamma_1$

$\alpha = \alpha_1$

$\beta = \beta_1$

Нам нужно доказать, что двугранные углы при рёбрах $SA, SB, SC$ соответственно равны двугранным углам при рёбрах $S_1A_1, S_1B_1, S_1C_1$.

Докажем, например, равенство двугранных углов при рёбрах $SA$ и $S_1A_1$. Обозначим их $\phi_{SA}$ и $\phi_{S_1A_1}$ соответственно.

Теорема косинусов для трёхгранного угла связывает его три плоских угла и один из двугранных углов. Для двугранного угла при ребре $SA$ она имеет вид:

$\cos(\angle BSC) = \cos(\angle CSA) \cdot \cos(\angle ASB) + \sin(\angle CSA) \cdot \sin(\angle ASB) \cdot \cos(\phi_{SA})$

В наших обозначениях:

$\cos(\alpha) = \cos(\beta) \cdot \cos(\gamma) + \sin(\beta) \cdot \sin(\gamma) \cdot \cos(\phi_{SA})$

Выразим из этой формулы косинус двугранного угла $\phi_{SA}$:

$\cos(\phi_{SA}) = \frac{\cos(\alpha) - \cos(\beta) \cdot \cos(\gamma)}{\sin(\beta) \cdot \sin(\gamma)}$

Теперь запишем аналогичную формулу для двугранного угла $\phi_{S_1A_1}$ трёхгранного угла $S_1A_1B_1C_1$:

$\cos(\phi_{S_1A_1}) = \frac{\cos(\alpha_1) - \cos(\beta_1) \cdot \cos(\gamma_1)}{\sin(\beta_1) \cdot \sin(\gamma_1)}$

Поскольку по условию $\alpha = \alpha_1$, $\beta = \beta_1$ и $\gamma = \gamma_1$, правые части обоих выражений равны. Следовательно, равны и их левые части:

$\cos(\phi_{SA}) = \cos(\phi_{S_1A_1})$

Величина двугранного угла находится в пределах от $0$ до $\pi$ (от 0° до 180°). На этом интервале функция косинуса является строго монотонной, а значит, каждому значению косинуса соответствует единственное значение угла. Таким образом, из равенства косинусов следует равенство самих углов:

$\phi_{SA} = \phi_{S_1A_1}$

Совершенно аналогично, применяя теорему косинусов для других рёбер, можно доказать равенство двугранных углов при рёбрах $SB$ и $S_1B_1$, а также при рёбрах $SC$ и $S_1C_1$. Формулы для них будут:

$\cos(\phi_{SB}) = \frac{\cos(\beta) - \cos(\alpha) \cdot \cos(\gamma)}{\sin(\alpha) \cdot \sin(\gamma)}$

$\cos(\phi_{SC}) = \frac{\cos(\gamma) - \cos(\alpha) \cdot \cos(\beta)}{\sin(\alpha) \cdot \sin(\beta)}$

В каждом случае правая часть выражения зависит только от величин плоских углов. Так как плоские углы у двух трёхгранных углов соответственно равны, то будут равны и косинусы соответствующих двугранных углов, а значит, и сами двугранные углы.

Таким образом, утверждение полностью доказано.

Ответ: Утверждение доказано. Из теоремы косинусов для трёхгранного угла следует, что каждый двугранный угол однозначно определяется тремя плоскими углами. Поскольку по условию плоские углы у двух трёхгранных углов соответственно равны, то равны и их соответствующие двугранные углы.