Номер 16.27, страница 180 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

16.27. Какое наибольшее значение может принимать наименьший двугранный угол тетраэдра?

Пусть $\alpha$ — наименьший двугранный угол тетраэдра. Нам необходимо найти максимальное возможное значение $\alpha$.

Интуитивно можно предположить, что для того чтобы наименьший из углов был как можно больше, все углы должны быть равны между собой. Такая конфигурация достигается в правильном тетраэдре, у которого все шесть двугранных углов равны. Если бы существовал тетраэдр, у которого наименьший угол больше, чем угол в правильном тетраэдре, то это означало бы, что все его двугранные углы больше этого значения. Однако можно доказать, что такая конфигурация невозможна. Наибольшее значение наименьшего угла достигается именно тогда, когда все углы равны, то есть в случае правильного тетраэдра.

Таким образом, задача сводится к нахождению величины двугранного угла правильного тетраэдра.

Пусть имеется правильный тетраэдр $ABCD$ с длиной ребра $a$. Найдем двугранный угол при ребре $AB$. Этот угол равен углу между плоскостями граней $ABC$ и $ABD$.

Для измерения этого угла построим его линейный угол. Пусть $M$ — середина ребра $AB$. Поскольку грани $ABC$ и $ABD$ являются равносторонними треугольниками, их медианы $CM$ и $DM$ (проведенные к стороне $AB$) также являются их высотами. Следовательно, $CM \perp AB$ и $DM \perp AB$.

По определению, угол между двумя плоскостями — это угол между перпендикулярами, проведенными к линии их пересечения. Значит, искомый двугранный угол равен углу $\angle CMD$.

Рассмотрим треугольник $CMD$. Найдем длины его сторон:

• $CM$ и $DM$ — высоты в равносторонних треугольниках со стороной $a$. Длина высоты равностороннего треугольника вычисляется по формуле $h = \frac{\sqrt{3}}{2}a$. Таким образом, $CM = DM = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.
• $CD$ — это ребро тетраэдра, поэтому $CD = a$.

Теперь применим теорему косинусов к треугольнику $CMD$ для нахождения косинуса угла $\angle CMD$: $CD^2 = CM^2 + DM^2 - 2 \cdot CM \cdot DM \cdot \cos(\angle CMD)$

Подставим известные значения длин сторон: $a^2 = \left(\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)^2 + \left(\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)^2 - 2 \cdot \frac{a\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{a\sqrt{3}}{2} \cdot \cos(\angle CMD)$

$a^2 = \frac{3a^2}{4} + \frac{3a^2}{4} - 2 \cdot \frac{3a^2}{4} \cdot \cos(\angle CMD)$

$a^2 = \frac{6a^2}{4} - \frac{6a^2}{4} \cdot \cos(\angle CMD)$

$a^2 = \frac{3a^2}{2} - \frac{3a^2}{2} \cdot \cos(\angle CMD)$

Разделим обе части уравнения на $a^2$ (так как $a \neq 0$): $1 = \frac{3}{2} - \frac{3}{2} \cos(\angle CMD)$

$\frac{3}{2} \cos(\angle CMD) = \frac{3}{2} - 1 = \frac{1}{2}$

$\cos(\angle CMD) = \frac{1/2}{3/2} = \frac{1}{3}$

Следовательно, двугранный угол правильного тетраэдра равен $\arccos\left(\frac{1}{3}\right)$.

Так как в правильном тетраэдре все двугранные углы равны, то и наименьший из них равен этому значению. Это и есть искомое наибольшее значение.

Ответ: $\arccos\left(\frac{1}{3}\right)$.