Номер 16.26, страница 180 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

16.26. Грани $ABC$ и $ADC$ тетраэдра $DABC$ перпендикулярны. Известно, что $AC = BC$, $AD = CD = \frac{1}{2}AB$ и $\angle ACB = 90^\circ$. Найдите угол между плоскостями $ABD$ и $ACD$.

Угол между двумя плоскостями — это угол между двумя перпендикулярами, проведенными к линии их пересечения из одной точки.

1. Обозначим искомый угол между плоскостями $ABD$ и $ACD$ как $\phi$. Линией пересечения этих плоскостей является прямая $AD$.

2. Рассмотрим условия задачи. Грани $ABC$ и $ADC$ перпендикулярны. Линия их пересечения — $AC$. В треугольнике $ABC$ угол $\angle ACB = 90^{\circ}$, следовательно, сторона $BC$ перпендикулярна стороне $AC$ ($BC \perp AC$).

Поскольку плоскость $(ABC)$ перпендикулярна плоскости $(ADC)$, а прямая $BC$ лежит в плоскости $(ABC)$ и перпендикулярна линии пересечения $AC$, то прямая $BC$ перпендикулярна всей плоскости $(ADC)$. Из этого следует, что $BC$ перпендикулярна любой прямой, лежащей в плоскости $(ADC)$.

3. Для нахождения линейного угла двугранного угла между плоскостями $(ABD)$ и $(ACD)$ построим перпендикуляры к их общей прямой $AD$.

В плоскости $(ADC)$ проведем высоту $CH$ к стороне $AD$. Таким образом, $CH \perp AD$.

Теперь рассмотрим наклонную $BH$ и ее проекцию $CH$ на плоскость $(ADC)$. Так как $BC \perp (ADC)$, то $CH$ является проекцией $BH$ на эту плоскость.

По теореме о трех перпендикулярах, если проекция прямой ($CH$) перпендикулярна некоторой прямой в плоскости ($AD$), то и сама наклонная ($BH$) перпендикулярна этой прямой. Следовательно, $BH \perp AD$.

Мы построили два перпендикуляра $CH$ и $BH$ к линии пересечения $AD$ в одной точке $H$. Значит, угол $\angle BHC$ является линейным углом двугранного угла между плоскостями $(ABD)$ и $(ACD)$, то есть $\phi = \angle BHC$.

4. Найдем величину угла $\angle BHC$.

Так как $BC \perp (ADC)$, а прямая $CH$ лежит в плоскости $(ADC)$, то $BC \perp CH$. Следовательно, треугольник $BCH$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $C$.

Введем обозначение. Пусть $AC = BC = x$.

Из прямоугольного равнобедренного треугольника $ABC$ по теореме Пифагора находим гипотенузу $AB$:
$AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{x^2 + x^2} = \sqrt{2x^2} = x\sqrt{2}$.

По условию $AD = CD = \frac{1}{2}AB$, значит:
$AD = CD = \frac{1}{2}(x\sqrt{2}) = \frac{x\sqrt{2}}{2}$.

Теперь найдем длину высоты $CH$ в треугольнике $ADC$. Площадь треугольника $ADC$ можно вычислить, используя высоту $DM$ к основанию $AC$ (так как $\triangle ADC$ равнобедренный, $DM$ также является медианой, $M$ — середина $AC$).

В прямоугольном треугольнике $DMC$ ($CM = x/2$):
$DM = \sqrt{CD^2 - CM^2} = \sqrt{(\frac{x\sqrt{2}}{2})^2 - (\frac{x}{2})^2} = \sqrt{\frac{2x^2}{4} - \frac{x^2}{4}} = \sqrt{\frac{x^2}{4}} = \frac{x}{2}$.

Площадь $\triangle ADC$ равна:
$S_{ADC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot DM = \frac{1}{2} \cdot x \cdot \frac{x}{2} = \frac{x^2}{4}$.

С другой стороны, площадь этого же треугольника можно выразить через высоту $CH$ к стороне $AD$:
$S_{ADC} = \frac{1}{2} \cdot AD \cdot CH$.

Приравняем два выражения для площади:
$\frac{x^2}{4} = \frac{1}{2} \cdot \frac{x\sqrt{2}}{2} \cdot CH$
$\frac{x^2}{4} = \frac{x\sqrt{2}}{4} \cdot CH$
$CH = \frac{x^2}{4} \cdot \frac{4}{x\sqrt{2}} = \frac{x}{\sqrt{2}} = \frac{x\sqrt{2}}{2}$.

5. Вернемся к прямоугольному треугольнику $BCH$. Мы знаем длины катетов: $BC = x$ и $CH = \frac{x\sqrt{2}}{2}$.

Найдем тангенс угла $\phi = \angle BHC$:
$\text{tg}(\phi) = \frac{BC}{CH} = \frac{x}{\frac{x\sqrt{2}}{2}} = \frac{1}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$.

Следовательно, искомый угол $\phi = \text{arctg}(\sqrt{2})$.

Ответ: $\text{arctg}(\sqrt{2})$.