Номер 16.19, страница 180 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

16.19. Рёбра $AB$, $AD$ и $AA_1$ прямоугольного параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ равны соответственно 6 см, 6 см и $6\sqrt{2}$ см. На ребре $CD$ отметили точку $K$ так, что $CK : KD = 2 : 1$. Через точку $K$ провели плоскость, параллельную прямым $A_1C_1$ и $DB_1$. Найдите площадь сечения прямоугольного параллелепипеда этой плоскостью.

Для решения задачи введем прямоугольную систему координат. Поместим начало координат в точку $D$, ось $Ox$ направим вдоль ребра $DA$, ось $Oy$ — вдоль ребра $DC$, а ось $Oz$ — вдоль ребра $DD_1$.

1. Определение координат точек

В данной системе координат вершины прямоугольного параллелепипеда будут иметь следующие координаты, учитывая, что $AB=DC=6$ см, $AD=BC=6$ см и $AA_1=DD_1=6\sqrt{2}$ см:

• $D(0, 0, 0)$
• $A(6, 0, 0)$
• $C(0, 6, 0)$
• $B(6, 6, 0)$
• $D_1(0, 0, 6\sqrt{2})$
• $A_1(6, 0, 6\sqrt{2})$
• $C_1(0, 6, 6\sqrt{2})$
• $B_1(6, 6, 6\sqrt{2})$

Точка $K$ лежит на ребре $CD$ и делит его в отношении $CK : KD = 2 : 1$. Длина ребра $CD=6$ см. Следовательно, $KD = \frac{1}{3} CD = \frac{1}{3} \cdot 6 = 2$ см. Так как точка $K$ лежит на оси $Oy$, ее координаты будут $K(0, 2, 0)$.

2. Нахождение уравнения плоскости сечения

Плоскость сечения (обозначим ее $\alpha$) проходит через точку $K$ и параллельна прямым $A_1C_1$ и $DB_1$. Найдем направляющие векторы этих прямых.

• Направляющий вектор прямой $A_1C_1$: $\vec{v_1} = \vec{A_1C_1} = C_1 - A_1 = (0-6, 6-0, 6\sqrt{2}-6\sqrt{2}) = (-6, 6, 0)$. Для удобства можно использовать коллинеарный вектор $\vec{u_1} = (-1, 1, 0)$.
• Направляющий вектор прямой $DB_1$: $\vec{v_2} = \vec{DB_1} = B_1 - D = (6-0, 6-0, 6\sqrt{2}-0) = (6, 6, 6\sqrt{2})$. Для удобства можно использовать коллинеарный вектор $\vec{u_2} = (1, 1, \sqrt{2})$.

Нормальный вектор $\vec{n}$ к плоскости $\alpha$ перпендикулярен векторам $\vec{u_1}$ и $\vec{u_2}$. Найдем его как векторное произведение:

$\vec{n} = \vec{u_1} \times \vec{u_2} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ -1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & \sqrt{2} \end{vmatrix} = \vec{i}(1\cdot\sqrt{2} - 0\cdot1) - \vec{j}(-1\cdot\sqrt{2} - 0\cdot1) + \vec{k}(-1\cdot1 - 1\cdot1) = \sqrt{2}\vec{i} + \sqrt{2}\vec{j} - 2\vec{k}$.

Таким образом, $\vec{n} = (\sqrt{2}, \sqrt{2}, -2)$.

Уравнение плоскости $\alpha$ имеет вид $Ax+By+Cz+D=0$, где $(A,B,C)=\vec{n}$. Получаем: $\sqrt{2}x + \sqrt{2}y - 2z + D = 0$.

Плоскость проходит через точку $K(0, 2, 0)$. Подставим ее координаты в уравнение, чтобы найти $D$:

$\sqrt{2}\cdot0 + \sqrt{2}\cdot2 - 2\cdot0 + D = 0 \implies 2\sqrt{2} + D = 0 \implies D = -2\sqrt{2}$.

Уравнение плоскости сечения: $\sqrt{2}x + \sqrt{2}y - 2z - 2\sqrt{2} = 0$. Разделив на $\sqrt{2}$, получим более простое уравнение:

$x + y - \sqrt{2}z - 2 = 0$.

3. Определение вершин многоугольника сечения

Найдем точки пересечения плоскости $\alpha$ с ребрами параллелепипеда.

• Пересечение с ребром $CD$ (ось $Oy$, $x=0, z=0$): $0+y-0-2=0 \implies y=2$. Это точка $K(0,2,0)$.
• Пересечение с ребром $AD$ (ось $Ox$, $y=0, z=0$): $x+0-0-2=0 \implies x=2$. Обозначим эту точку $P(2,0,0)$.
• Пересечение с ребром $AA_1$ ($x=6, y=0$): $6+0-\sqrt{2}z-2=0 \implies 4-\sqrt{2}z=0 \implies z=\frac{4}{\sqrt{2}}=2\sqrt{2}$. Обозначим эту точку $Q(6,0,2\sqrt{2})$.
• Пересечение с ребром $BB_1$ ($x=6, y=6$): $6+6-\sqrt{2}z-2=0 \implies 10-\sqrt{2}z=0 \implies z=\frac{10}{\sqrt{2}}=5\sqrt{2}$. Обозначим эту точку $R(6,6,5\sqrt{2})$.
• Пересечение с ребром $C_1C$ ($x=0, y=6$): $0+6-\sqrt{2}z-2=0 \implies 4-\sqrt{2}z=0 \implies z=\frac{4}{\sqrt{2}}=2\sqrt{2}$. Обозначим эту точку $S(0,6,2\sqrt{2})$.

Таким образом, сечение является пятиугольником $KPQRS$.

4. Вычисление площади сечения

Площадь сечения можно найти, используя формулу площади проекции: $S_{сеч} = \frac{S_{пр}}{|\cos\gamma|}$, где $S_{пр}$ — площадь проекции сечения на одну из координатных плоскостей, а $\gamma$ — угол между плоскостью сечения и плоскостью проекции.

Спроецируем пятиугольник $KPQRS$ на плоскость $Oxy$. Координаты вершин проекции $K'P'Q'R'S'$:

$K'(0,2)$, $P'(2,0)$, $Q'(6,0)$, $R'(6,6)$, $S'(0,6)$.

Площадь этого многоугольника на плоскости можно вычислить как площадь большого прямоугольника с вершинами в $(0,0), (6,0), (6,6), (0,6)$ за вычетом площади треугольника с вершинами в $(0,0), (2,0), (0,2)$.

$S_{пр} = S_{прямоуг} - S_{треуг} = (6 \cdot 6) - \left(\frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 2\right) = 36 - 2 = 34$ см$^2$.

Теперь найдем косинус угла $\gamma$ между плоскостью сечения $\alpha$ и плоскостью $Oxy$. Угол $\gamma$ равен углу между их нормальными векторами. Нормальный вектор к плоскости $\alpha$ — это $\vec{n}=(\sqrt{2}, \sqrt{2}, -2)$ (или $\vec{n_1}=(1, 1, -\sqrt{2})$), а нормальный вектор к плоскости $Oxy$ — это $\vec{k}=(0, 0, 1)$.

$\cos\gamma = \frac{|\vec{n_1} \cdot \vec{k}|}{|\vec{n_1}| \cdot |\vec{k}|} = \frac{|1\cdot0 + 1\cdot0 - \sqrt{2}\cdot1|}{\sqrt{1^2+1^2+(-\sqrt{2})^2} \cdot \sqrt{0^2+0^2+1^2}} = \frac{|-\sqrt{2}|}{\sqrt{1+1+2} \cdot 1} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{4}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Наконец, найдем площадь сечения:

$S_{сеч} = \frac{S_{пр}}{|\cos\gamma|} = \frac{34}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{34 \cdot 2}{\sqrt{2}} = 34\sqrt{2}$ см$^2$.

Ответ: $34\sqrt{2}$ см$^2$.