gdz.top
Номер 16.12, страница 179 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков
Авторы: Мерзляк А. Г., Поляков В. М., Номировский Д. А.
Тип: Учебник
Издательство: Вентана-граф
Год издания: 2017 - 2025
Уровень обучения: углублённый
Цвет обложки: зелёный, салатовый
ISBN: 978-5-360 07805-0
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия
Популярные ГДЗ в 10 классе
Глава 3. Перпендикулярность в пространстве. Параграф 16. Площадь ортогональной проекции многоугольника - номер 16.12, страница 179.
№16.11
№16.12 (с. 179)
Условие. №16.12 (с. 179)
16.12. Сторона правильного шестиугольника равна 2 см, а площадь его проекции — 9 $\text{см}^2$. Найдите угол между плоскостью данного шестиугольника и плоскостью его проекции.
Решение. №16.12 (с. 179)
Решение 2. №16.12 (с. 179)
Для решения задачи воспользуемся формулой, связывающей площадь плоской фигуры и площадь ее ортогональной проекции. Формула имеет вид: $S_{пр} = S \cdot \cos(\alpha)$, где $S_{пр}$ — площадь проекции, $S$ — площадь исходной фигуры, а $\alpha$ — искомый угол между плоскостью фигуры и плоскостью проекции.
Сначала найдем площадь правильного шестиугольника ($S_{шест}$). Правильный шестиугольник можно разбить на шесть равных правильных треугольников, сторона каждого из которых равна стороне шестиугольника. По условию, сторона шестиугольника $a = 2$ см.
Площадь правильного шестиугольника со стороной $a$ вычисляется по формуле:
$S_{шест} = \frac{3\sqrt{3}}{2}a^2$
Подставим в формулу значение стороны $a = 2$ см:
$S_{шест} = \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot 2^2 = \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot 4 = 6\sqrt{3}$ см2.
Теперь, зная площадь шестиугольника и площадь его проекции, мы можем найти угол $\alpha$. Из основной формулы выразим $\cos(\alpha)$:
$\cos(\alpha) = \frac{S_{пр}}{S_{шест}}$
По условию задачи, площадь проекции $S_{пр} = 9$ см2. Подставим известные значения в формулу:
$\cos(\alpha) = \frac{9}{6\sqrt{3}}$
Упростим полученное выражение. Сократим дробь на 3:
$\cos(\alpha) = \frac{3}{2\sqrt{3}}$
Избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на $\sqrt{3}$:
$\cos(\alpha) = \frac{3 \cdot \sqrt{3}}{2\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{3}}{2 \cdot 3} = \frac{3\sqrt{3}}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$
Угол $\alpha$, косинус которого равен $\frac{\sqrt{3}}{2}$, это $30^{\circ}$.
$\alpha = \arccos\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = 30^{\circ}$
Ответ: $30^{\circ}$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по геометрии за 10 класс, для упражнения номер 16.12 расположенного на странице 179 к учебнику 2017 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по геометрии к упражнению №16.12 (с. 179), авторов: Мерзляк (Аркадий Григорьевич), Поляков (Виталий Михайлович), Номировский (Дмитрий Анатольевич), углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Вентана-граф.