Номер 16.11, страница 179 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

16.11. Сторона равностороннего треугольника $ABC$ равна 12 см, а стороны треугольника $A_1B_1C_1$ равны 10 см, 10 см и 12 см. Треугольник $A_1B_1C_1$ является проекцией треугольника $ABC$. Найдите угол между плоскостями $ABC$ и $A_1B_1C_1$.

Угол $\phi$ между плоскостью треугольника $ABC$ и плоскостью его проекции $A_1B_1C_1$ связан с их площадями следующим соотношением:

$S_{A_1B_1C_1} = S_{ABC} \cdot \cos(\phi)$

Отсюда мы можем выразить косинус искомого угла:

$\cos(\phi) = \frac{S_{A_1B_1C_1}}{S_{ABC}}$

Чтобы найти угол, нам необходимо вычислить площади обоих треугольников.

1. Вычисление площади равностороннего треугольника $ABC$

Треугольник $ABC$ является равносторонним со стороной $a = 12$ см. Его площадь вычисляется по формуле:

$S = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$

Подставляем значение стороны:

$S_{ABC} = \frac{12^2\sqrt{3}}{4} = \frac{144\sqrt{3}}{4} = 36\sqrt{3}$ см$^2$.

2. Вычисление площади треугольника $A_1B_1C_1$

Треугольник $A_1B_1C_1$ — равнобедренный со сторонами 10 см, 10 см и основанием 12 см. Для нахождения его площади проведем высоту $h$ к основанию. В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, также является медианой и делит основание на два равных отрезка по $12 / 2 = 6$ см.

Найдем высоту $h$ по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника, образованного боковой стороной (гипотенуза), высотой и половиной основания (катеты):

$h^2 + 6^2 = 10^2$

$h^2 = 100 - 36 = 64$

$h = \sqrt{64} = 8$ см.

Теперь вычислим площадь треугольника $A_1B_1C_1$:

$S_{A_1B_1C_1} = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot h = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 8 = 48$ см$^2$.

3. Нахождение угла между плоскостями

Теперь, зная площади обоих треугольников, мы можем найти косинус угла $\phi$ между их плоскостями:

$\cos(\phi) = \frac{S_{A_1B_1C_1}}{S_{ABC}} = \frac{48}{36\sqrt{3}}$

Сократим дробь на 12:

$\cos(\phi) = \frac{4}{3\sqrt{3}}$

Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{3}$:

$\cos(\phi) = \frac{4\sqrt{3}}{3\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{4\sqrt{3}}{3 \cdot 3} = \frac{4\sqrt{3}}{9}$

Следовательно, искомый угол $\phi$ равен арккосинусу этого значения.

Ответ: $\arccos\left(\frac{4\sqrt{3}}{9}\right)$.