Номер 16.7, страница 178 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

16.7. Ребро куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$, изображённого на рисунке 16.6, равно 2 см. Используя теорему о площади ортогональной проекции, вычислите площадь сечения $AB_1C_1D$.

Рис. 16.6

Согласно теореме о площади ортогональной проекции, площадь проекции многоугольника на плоскость ($S_{пр}$) равна произведению площади самого многоугольника ($S$) на косинус угла ($\alpha$) между их плоскостями: $S_{пр} = S \cdot \cos(\alpha)$.
Из этой формулы выразим искомую площадь сечения: $S = \frac{S_{пр}}{\cos(\alpha)}$.

1. Нахождение площади проекции

В качестве плоскости проекции выберем плоскость нижнего основания куба $(ABCD)$. Ортогональной проекцией сечения $AB_1C_1D$ на эту плоскость является квадрат $ABCD$, так как проекциями вершин $A$, $B_1$, $C_1$ и $D$ на эту плоскость являются соответственно точки $A$, $B$, $C$ и $D$.
Ребро куба по условию равно 2 см, следовательно, площадь проекции равна:
$S_{пр} = S_{ABCD} = 2^2 = 4$ см$^2$.

2. Нахождение угла между плоскостями

Угол $\alpha$ между плоскостью сечения $(AB_1C_1)$ и плоскостью основания $(ABCD)$ — это двугранный угол, образованный этими плоскостями. Линией пересечения данных плоскостей является прямая $AD$.
Для нахождения величины этого угла построим его линейный угол.
В плоскости основания $(ABCD)$ ребро $AB$ перпендикулярно линии пересечения $AD$.
В плоскости сечения $(AB_1C_1)$ отрезок $AB_1$ также перпендикулярен $AD$ (поскольку ребро $AD$ перпендикулярно грани $ABB_1A_1$, а значит, и любой прямой, лежащей в этой грани, в том числе $AB_1$).
Следовательно, линейным углом двугранного угла является угол $\angle B_1AB$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle ABB_1$ (угол $\angle B_1BA=90^\circ$, так как ребро $BB_1$ перпендикулярно основанию). Катеты $AB$ и $BB_1$ равны ребру куба: $AB = BB_1 = 2$ см.
Найдём косинус угла $\alpha = \angle B_1AB$. По определению косинуса: $\cos(\alpha) = \frac{AB}{AB_1}$.
Гипотенузу $AB_1$ найдём по теореме Пифагора:
$AB_1 = \sqrt{AB^2 + BB_1^2} = \sqrt{2^2 + 2^2} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$ см.
Теперь вычислим косинус:
$\cos(\alpha) = \frac{2}{2\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

3. Вычисление площади сечения

Подставим найденные значения площади проекции и косинуса угла в исходную формулу:
$S = \frac{S_{пр}}{\cos(\alpha)} = \frac{4}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 4 \cdot \frac{2}{\sqrt{2}} = \frac{8}{\sqrt{2}} = \frac{8\sqrt{2}}{2} = 4\sqrt{2}$ см$^2$.

Ответ: $4\sqrt{2}$ см$^2$.