Номер 16.8, страница 178 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

Параграф 16. Площадь ортогональной проекции многоугольника. Глава 3. Перпендикулярность в пространстве - номер 16.8, страница 178.

Условие.

16.8. Отрезок $DC$ — перпендикуляр к плоскости треугольника $ABC$ (рис. 16.7). Найдите площадь треугольника $ADB$, если $\angle ACB = 90^\circ$, $AC = 8$ см, $BC = 10$ см, а угол между плоскостями $ABC$ и $ABD$ равен $45^\circ$.

Рис. 16.7

Решение.

Решение 2.

Поскольку отрезок $DC$ перпендикулярен плоскости треугольника $ABC$, то треугольник $ABC$ является ортогональной проекцией треугольника $ADB$ на плоскость $(ABC)$.

Площадь фигуры ($S_{фигуры}$) и площадь ее ортогональной проекции ($S_{проекции}$) связаны соотношением:

$S_{проекции} = S_{фигуры} \cdot \cos(\alpha)$,

где $\alpha$ — угол между плоскостью фигуры и плоскостью проекции.

В данном случае, $S_{ABC}$ — это площадь проекции, $S_{ADB}$ — это площадь исходной фигуры, а $\alpha = 45^\circ$ — угол между плоскостями $ABC$ и $ABD$.

Таким образом, мы можем записать:

$S_{ABC} = S_{ADB} \cdot \cos(45^\circ)$

Отсюда можно выразить искомую площадь треугольника $ADB$:

$S_{ADB} = \frac{S_{ABC}}{\cos(45^\circ)}$

Сначала найдем площадь треугольника $ABC$. По условию, $\triangle ABC$ — прямоугольный, с $\angle ACB = 90^\circ$ и катетами $AC = 8$ см и $BC = 10$ см. Его площадь равна половине произведения катетов:

$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 10 = 40$ см$^2$.

Теперь можем найти площадь треугольника $ADB$, подставив известные значения:

$S_{ADB} = \frac{40}{\cos(45^\circ)} = \frac{40}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{40 \cdot 2}{\sqrt{2}} = \frac{80}{\sqrt{2}} = \frac{80\sqrt{2}}{2} = 40\sqrt{2}$ см$^2$.

Ответ: $40\sqrt{2}$ см$^2$.