Номер 16.15, страница 179 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

16.15. Ребро куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ равно $a$. Найдите площадь сечения куба плоскостью, проходящей через ребро $AD$ и образующей угол $\alpha$ с плоскостью $ABC$.

Пусть секущая плоскость проходит через ребро $AD$ куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ и образует угол $\alpha$ с плоскостью основания $ABC$. Обозначим эту секущую плоскость $\beta$.

Поскольку ребро $AD$ параллельно грани $BCC_1B_1$, секущая плоскость $\beta$ пересечет эту грань по прямой, параллельной $AD$. Пусть эта прямая пересекает ребра $BB_1$ и $CC_1$ в точках $K$ и $L$ соответственно. Таким образом, искомое сечение — это четырехугольник $ADLK$.

Определим вид этого сечения. Ребро $AD$ перпендикулярно плоскости грани $ABB_1A_1$, так как $AD \perp AB$ и $AD \perp AA_1$. Следовательно, ребро $AD$ перпендикулярно любой прямой, лежащей в этой плоскости, в том числе и прямой $AK$. Таким образом, угол $\angle DAK = 90^\circ$. Это означает, что сечение $ADLK$ является прямоугольником.

Площадь прямоугольника $ADLK$ вычисляется по формуле $S = AD \cdot AK$. По условию, длина ребра куба равна $a$, поэтому $AD = a$. Нам осталось найти длину стороны $AK$.

Угол между секущей плоскостью $ADLK$ и плоскостью основания $ABC$ — это двугранный угол, который измеряется линейным углом. Линией пересечения этих плоскостей является прямая $AD$. В плоскости основания $ABC$ проведем перпендикуляр к $AD$ — это ребро $AB$. В плоскости сечения $ADLK$ к $AD$ перпендикулярна сторона $AK$ (как было доказано ранее). Следовательно, линейный угол двугранного угла равен углу между этими прямыми: $\angle BAK = \alpha$.

Рассмотрим треугольник $ABK$. Ребро $BB_1$ перпендикулярно плоскости основания $ABC$ и, следовательно, перпендикулярно ребру $AB$. Таким образом, треугольник $ABK$ является прямоугольным с прямым углом $\angle ABK = 90^\circ$. В этом треугольнике катет $AB = a$, а прилежащий к нему острый угол $\angle BAK = \alpha$. Длину гипотенузы $AK$ можно найти из тригонометрического соотношения:
$\cos(\alpha) = \frac{AB}{AK}$
Отсюда:
$AK = \frac{AB}{\cos(\alpha)} = \frac{a}{\cos(\alpha)}$

Теперь мы можем вычислить площадь сечения:
$S = AD \cdot AK = a \cdot \frac{a}{\cos(\alpha)} = \frac{a^2}{\cos(\alpha)}$.

Ответ: $\frac{a^2}{\cos(\alpha)}$