Номер 16.20, страница 180 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

16.20. Точки $M$ и $K$ — середины соответственно рёбер $BC$ и $CC_1$ куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Найдите угол между плоскостями $MKD$ и $ABB_1$.

Для решения задачи воспользуемся координатным методом. Введем прямоугольную систему координат с началом в точке $D$. Направим ось $x$ вдоль ребра $DC$, ось $y$ вдоль ребра $DA$ и ось $z$ вдоль ребра $DD_1$. Примем длину ребра куба равной $a$.

В этой системе координат вершины куба будут иметь следующие координаты:$D(0, 0, 0)$, $A(0, a, 0)$, $B(a, a, 0)$, $C(a, 0, 0)$, $D_1(0, 0, a)$, $A_1(0, a, a)$, $B_1(a, a, a)$, $C_1(a, 0, a)$.

Найдем координаты точек $M$ и $K$.Точка $M$ — середина ребра $BC$. Координаты $B(a, a, 0)$ и $C(a, 0, 0)$.Координаты $M$ будут равны полусумме соответствующих координат точек $B$ и $C$:$M = \left(\frac{a+a}{2}; \frac{a+0}{2}; \frac{0+0}{2}\right) = \left(a; \frac{a}{2}; 0\right)$.

Точка $K$ — середина ребра $CC_1$. Координаты $C(a, 0, 0)$ и $C_1(a, 0, a)$.Координаты $K$ будут равны полусумме соответствующих координат точек $C$ и $C_1$:$K = \left(\frac{a+a}{2}; \frac{0+0}{2}; \frac{0+a}{2}\right) = \left(a; 0; \frac{a}{2}\right)$.

Теперь найдем уравнение плоскости $MKD$. Эта плоскость проходит через точки $D(0, 0, 0)$, $M(a, a/2, 0)$ и $K(a, 0, a/2)$.Составим векторы, лежащие в этой плоскости:$\vec{DM} = (a - 0; \frac{a}{2} - 0; 0 - 0) = (a; \frac{a}{2}; 0)$$\vec{DK} = (a - 0; 0 - 0; \frac{a}{2} - 0) = (a; 0; \frac{a}{2})$

Нормальный вектор $\vec{n_1}$ к плоскости $MKD$ можно найти как векторное произведение векторов $\vec{DM}$ и $\vec{DK}$:$\vec{n_1} = \vec{DM} \times \vec{DK} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ a & a/2 & 0 \\ a & 0 & a/2 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(\frac{a}{2} \cdot \frac{a}{2} - 0 \cdot 0) - \mathbf{j}(a \cdot \frac{a}{2} - 0 \cdot a) + \mathbf{k}(a \cdot 0 - \frac{a}{2} \cdot a) = \frac{a^2}{4}\mathbf{i} - \frac{a^2}{2}\mathbf{j} - \frac{a^2}{2}\mathbf{k}$.В качестве нормального вектора можно взять коллинеарный ему вектор, умножив на $\frac{4}{a^2}$:$\vec{n_1} = (1; -2; -2)$.

Плоскость $ABB_1$ совпадает с гранью $ABB_1A_1$. В нашей системе координат эта грань задается точками $A(0, a, 0)$, $B(a, a, 0)$, $B_1(a, a, a)$, $A_1(0, a, a)$. У всех точек этой плоскости координата $y$ равна $a$. Таким образом, уравнение плоскости $ABB_1$ есть $y = a$ или $y - a = 0$.Нормальный вектор $\vec{n_2}$ к этой плоскости имеет координаты $(0; 1; 0)$.

Угол $\phi$ между плоскостями $MKD$ и $ABB_1$ равен углу между их нормальными векторами $\vec{n_1}$ и $\vec{n_2}$. Косинус этого угла вычисляется по формуле:$\cos \phi = \frac{|\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}|}{|\vec{n_1}| \cdot |\vec{n_2}|}$

Найдем скалярное произведение векторов:$\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = 1 \cdot 0 + (-2) \cdot 1 + (-2) \cdot 0 = -2$.Модуль скалярного произведения: $|\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}| = |-2| = 2$.

Найдем длины (модули) векторов:$|\vec{n_1}| = \sqrt{1^2 + (-2)^2 + (-2)^2} = \sqrt{1 + 4 + 4} = \sqrt{9} = 3$.$|\vec{n_2}| = \sqrt{0^2 + 1^2 + 0^2} = \sqrt{1} = 1$.

Подставим найденные значения в формулу для косинуса угла:$\cos \phi = \frac{2}{3 \cdot 1} = \frac{2}{3}$.Следовательно, искомый угол $\phi = \arccos\left(\frac{2}{3}\right)$.

Ответ: $\arccos\left(\frac{2}{3}\right)$.