Номер 16.16, страница 179 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

16.16. Основание $ABCD$ прямоугольного параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ является квадратом. Точка $M$ — середина ребра $AB$, точка $K$ — середина ребра $AD$. Через прямую $MK$ проведена плоскость, образующая с плоскостью $ABC$ угол $\alpha$ и пересекающая три боковых ребра параллелепипеда. Площадь получившегося сечения параллелепипеда равна $S$. Найдите отрезок $AB$.

Пусть сторона основания $ABCD$ (квадрата) равна $a$. То есть, $AB = a$. Мы ищем значение $a$.

Введем систему координат с началом в точке $A(0,0,0)$. Оси $Ox$, $Oy$, $Oz$ направим вдоль ребер $AB$, $AD$ и $AA_1$ соответственно. Тогда вершины основания имеют координаты: $A(0,0,0)$, $B(a,0,0)$, $D(0,a,0)$ и $C(a,a,0)$.

Точка $M$ — середина ребра $AB$, ее координаты $M(\frac{a}{2}, 0, 0)$.
Точка $K$ — середина ребра $AD$, ее координаты $K(0, \frac{a}{2}, 0)$.

Через прямую $MK$ проведена плоскость (назовем ее $\beta$), которая образует с плоскостью основания $ABC$ (плоскость $z=0$) угол $\alpha$. По условию, эта плоскость пересекает три боковых ребра. Прямая $MK$ лежит в плоскости основания. Плоскость $\beta$ может быть наклонена "вверх" в сторону угла $C$ или "вниз".

Если плоскость наклонена так, что часть над треугольником $AMK$ поднимается (имеет положительные аппликаты), то часть над остальной частью квадрата опускается (имеет отрицательные аппликаты), и сечение не пересечет боковые ребра в их пределах. Следовательно, плоскость наклонена так, что часть над углом $C$ поднимается. В этом случае плоскость пересекает боковые ребра $BB_1$, $DD_1$ и $CC_1$.

Получившееся сечение является пятиугольником, вершины которого — это точки $M$, $K$ и точки пересечения плоскости $\beta$ с ребрами $BB_1$, $DD_1$ и $CC_1$. Обозначим эти точки $P$, $F$ и $Q$ соответственно. Таким образом, сечение — это пятиугольник $MKFQP$. Площадь этого сечения равна $S$.

Воспользуемся теоремой о площади ортогональной проекции фигуры. Площадь проекции сечения на плоскость основания ($S_{proj}$) связана с площадью самого сечения ($S$) соотношением:

$S_{proj} = S \cdot \cos\alpha$

где $\alpha$ — угол между плоскостью сечения и плоскостью проекции.

Проекцией пятиугольника-сечения $MKFQP$ на плоскость основания $ABC$ является пятиугольник $MKDCB$. Найдем его площадь.Площадь этого пятиугольника можно вычислить как разность площади квадрата $ABCD$ и площади треугольника $AMK$.

Площадь квадрата $ABCD$ равна:

$S_{ABCD} = AB^2 = a^2$

Треугольник $AMK$ — прямоугольный, так как $AB \perp AD$. Его катеты равны:

$AM = \frac{1}{2}AB = \frac{a}{2}$

$AK = \frac{1}{2}AD = \frac{a}{2}$

Площадь треугольника $AMK$ равна:

$S_{\triangle AMK} = \frac{1}{2} \cdot AM \cdot AK = \frac{1}{2} \cdot \frac{a}{2} \cdot \frac{a}{2} = \frac{a^2}{8}$

Теперь найдем площадь проекции:

$S_{proj} = S_{ABCD} - S_{\triangle AMK} = a^2 - \frac{a^2}{8} = \frac{7}{8}a^2$

Подставим это выражение в формулу для площади проекции:

$\frac{7}{8}a^2 = S \cos\alpha$

Выразим отсюда $a^2$:

$a^2 = \frac{8S \cos\alpha}{7}$

Так как $a$ — это длина отрезка $AB$, $a$ должно быть положительным:

$a = \sqrt{\frac{8S \cos\alpha}{7}}$

Ответ: $AB = \sqrt{\frac{8S \cos\alpha}{7}}$.