Номер 16.18, страница 180 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

16.18. Ребро куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ равно 1 см. Через середину ребра $AD$ проведена плоскость, параллельная прямым $AC_1$ и $BD$. Найдите площадь сечения куба этой плоскостью.

Для решения задачи введем прямоугольную систему координат. Пусть вершина куба A совпадает с началом координат, а ребра AB, AD и AA₁ лежат на осях Ox, Oy и Oz соответственно. Поскольку ребро куба равно 1 см, координаты вершин будут следующими:

A(0, 0, 0), B(1, 0, 0), D(0, 1, 0), C(1, 1, 0), A₁(0, 0, 1), B₁(1, 0, 1), C₁(1, 1, 1), D₁(0, 1, 1).

Плоскость сечения проходит через середину ребра AD. Найдем координаты этой точки, обозначим ее M.

$M = (\frac{0+0}{2}, \frac{0+1}{2}, \frac{0+0}{2}) = (0, \frac{1}{2}, 0)$.

Плоскость сечения параллельна прямым AC₁ и BD. Найдем векторы, соответствующие этим прямым:

$\vec{AC_1} = C_1 - A = (1, 1, 1) - (0, 0, 0) = (1, 1, 1)$.

$\vec{BD} = D - B = (0, 1, 0) - (1, 0, 0) = (-1, 1, 0)$.

Вектор нормали $\vec{n}$ к искомой плоскости сечения будет перпендикулярен векторам $\vec{AC_1}$ и $\vec{BD}$. Мы можем найти его как их векторное произведение:

$\vec{n} = \vec{AC_1} \times \vec{BD} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 1 & 1 \\ -1 & 1 & 0 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(1 \cdot 0 - 1 \cdot 1) - \mathbf{j}(1 \cdot 0 - 1 \cdot (-1)) + \mathbf{k}(1 \cdot 1 - 1 \cdot (-1)) = -1\mathbf{i} - 1\mathbf{j} + 2\mathbf{k} = (-1, -1, 2)$.

Для удобства можно взять коллинеарный вектор, например, $(1, 1, -2)$.

Теперь составим уравнение плоскости, зная ее нормальный вектор $\vec{n}=(1, 1, -2)$ и точку $M(0, 1/2, 0)$, через которую она проходит. Уравнение плоскости имеет вид $A(x-x_0) + B(y-y_0) + C(z-z_0) = 0$.

$1(x - 0) + 1(y - \frac{1}{2}) - 2(z - 0) = 0$

$x + y - \frac{1}{2} - 2z = 0$

$x + y - 2z = \frac{1}{2}$

Найдем точки пересечения этой плоскости с ребрами куба, чтобы определить вершины многоугольника в сечении:

• Ребро AD (x=0, z=0): $y = 1/2$. Точка $M(0, 1/2, 0)$.
• Ребро AB (y=0, z=0): $x = 1/2$. Точка $P(1/2, 0, 0)$.
• Ребро BB₁ (x=1, y=0): $1 - 2z = 1/2 \implies 2z = 1/2 \implies z = 1/4$. Точка $R(1, 0, 1/4)$.
• Ребро DD₁ (x=0, y=1): $1 - 2z = 1/2 \implies 2z = 1/2 \implies z = 1/4$. Точка $N(0, 1, 1/4)$.
• Ребро CC₁ (x=1, y=1): $1 + 1 - 2z = 1/2 \implies 2 - 2z = 1/2 \implies 2z = 3/2 \implies z = 3/4$. Точка $S(1, 1, 3/4)$.

Проверка других ребер показывает, что плоскость их не пересекает (пересечение происходит вне отрезка ребра). Таким образом, сечением является пятиугольник с вершинами M, P, R, S, N в порядке обхода: MPRSN.

Для нахождения площади пятиугольника воспользуемся методом проекции. Спроектируем пятиугольник на плоскость Oxy (z=0). Координаты проекций вершин:

$M'(0, 1/2)$, $P'(1/2, 0)$, $R'(1, 0)$, $S'(1, 1)$, $N'(0, 1)$.

Проекция MPRSN' представляет собой единичный квадрат с вершинами (0,0), (1,0), (1,1), (0,1), из которого вырезан прямоугольный треугольник с вершинами в (0,0), (1/2,0) и (0,1/2). Площадь этой проекции $S_{пр}$ равна:

$S_{пр} = S_{квадрата} - S_{треугольника} = 1^2 - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = 1 - \frac{1}{8} = \frac{7}{8}$ см².

Площадь сечения $S$ связана с площадью ее ортогональной проекции $S_{пр}$ формулой $S = \frac{S_{пр}}{|\cos\gamma|}$, где $\gamma$ — угол между нормалью к плоскости сечения и нормалью к плоскости проекции.

Нормаль к плоскости сечения $\vec{n} = (1, 1, -2)$.

Нормаль к плоскости проекции Oxy — это вектор $\vec{k} = (0, 0, 1)$.

Найдем косинус угла между ними:

$|\cos\gamma| = \frac{|\vec{n} \cdot \vec{k}|}{||\vec{n}|| \cdot ||\vec{k}||} = \frac{|1\cdot0 + 1\cdot0 + (-2)\cdot1|}{\sqrt{1^2+1^2+(-2)^2} \cdot \sqrt{0^2+0^2+1^2}} = \frac{|-2|}{\sqrt{1+1+4} \cdot 1} = \frac{2}{\sqrt{6}}$.

Теперь можем найти площадь сечения:

$S = \frac{S_{пр}}{|\cos\gamma|} = \frac{7/8}{2/\sqrt{6}} = \frac{7}{8} \cdot \frac{\sqrt{6}}{2} = \frac{7\sqrt{6}}{16}$ см².

Ответ: $\frac{7\sqrt{6}}{16}$ см².