Номер 16.17, страница 180 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

16.17. В тетраэдре $DABC$ двугранные углы с рёбрами $AB$, $BC$ и $AC$ соответственно равны $\alpha_1$, $\alpha_2$ и $\alpha_3$, а площади треугольников $ABD$, $BCD$, $CAD$ и $ABC$ соответственно равны $S_1$, $S_2$, $S_3$ и $S$. Докажите, что $S_1 \cos \alpha_1 + S_2 \cos \alpha_2 + S_3 \cos \alpha_3 = S$.

Для доказательства воспользуемся методом векторов. Каждой грани тетраэдра $DABC$ сопоставим вектор площади, который перпендикулярен этой грани, направлен во внешнюю сторону тетраэдра, а его модуль равен площади грани.

Обозначим векторы площадей граней $ABD, BCD, CAD$ и $ABC$ как $\vec{S_1}, \vec{S_2}, \vec{S_3}$ и $\vec{S}$ соответственно. По условию, их модули равны:

$|\vec{S_1}| = S_1$ (для грани $ABD$)

$|\vec{S_2}| = S_2$ (для грани $BCD$)

$|\vec{S_3}| = S_3$ (для грани $CAD$)

$|\vec{S}| = S$ (для грани $ABC$)

Для любого замкнутого многогранника сумма векторов площадей всех его граней, направленных во внешнюю сторону, равна нулевому вектору. Для тетраэдра это свойство записывается в виде:

$\vec{S_1} + \vec{S_2} + \vec{S_3} + \vec{S} = \vec{0}$

Из этого равенства выразим вектор площади основания $\vec{S}$:

$\vec{S} = -(\vec{S_1} + \vec{S_2} + \vec{S_3})$

Теперь умножим это векторное равенство скалярно на вектор $\vec{S}$:

$\vec{S} \cdot \vec{S} = -(\vec{S_1} + \vec{S_2} + \vec{S_3}) \cdot \vec{S}$

Левая часть этого равенства представляет собой скалярный квадрат вектора $\vec{S}$, который равен квадрату его модуля:

$|\vec{S}|^2 = S^2$

Раскроем скобки в правой части:

$S^2 = -(\vec{S_1} \cdot \vec{S} + \vec{S_2} \cdot \vec{S} + \vec{S_3} \cdot \vec{S})$

Скалярное произведение двух векторов определяется как произведение их модулей на косинус угла между ними. Угол между векторами площадей двух граней, направленными вовне, является дополнением внутреннего двугранного угла между этими гранями до $180^\circ$ (или $\pi$ радиан). Таким образом:

• Угол между векторами $\vec{S_1}$ и $\vec{S}$ (нормалями к граням $ABD$ и $ABC$) равен $\pi - \alpha_1$, где $\alpha_1$ — двугранный угол при ребре $AB$.
• Угол между векторами $\vec{S_2}$ и $\vec{S}$ (нормалями к граням $BCD$ и $ABC$) равен $\pi - \alpha_2$, где $\alpha_2$ — двугранный угол при ребре $BC$.
• Угол между векторами $\vec{S_3}$ и $\vec{S}$ (нормалями к граням $CAD$ и $ABC$) равен $\pi - \alpha_3$, где $\alpha_3$ — двугранный угол при ребре $AC$.

Вычислим скалярные произведения, используя свойство $\cos(\pi - x) = -\cos x$:

$\vec{S_1} \cdot \vec{S} = |\vec{S_1}| |\vec{S}| \cos(\pi - \alpha_1) = S_1 S (-\cos \alpha_1) = -S_1 S \cos \alpha_1$

$\vec{S_2} \cdot \vec{S} = |\vec{S_2}| |\vec{S}| \cos(\pi - \alpha_2) = S_2 S (-\cos \alpha_2) = -S_2 S \cos \alpha_2$

$\vec{S_3} \cdot \vec{S} = |\vec{S_3}| |\vec{S}| \cos(\pi - \alpha_3) = S_3 S (-\cos \alpha_3) = -S_3 S \cos \alpha_3$

Подставим полученные выражения в наше уравнение:

$S^2 = -(-S_1 S \cos \alpha_1 - S_2 S \cos \alpha_2 - S_3 S \cos \alpha_3)$

$S^2 = S_1 S \cos \alpha_1 + S_2 S \cos \alpha_2 + S_3 S \cos \alpha_3$

Поскольку $S$ — это площадь основания тетраэдра, она не равна нулю ($S \neq 0$). Следовательно, мы можем разделить обе части равенства на $S$:

$S = S_1 \cos \alpha_1 + S_2 \cos \alpha_2 + S_3 \cos \alpha_3$

Что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство $S_1 \cos \alpha_1 + S_2 \cos \alpha_2 + S_3 \cos \alpha_3 = S$ доказано.