Номер 16.21, страница 180 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

16.21. Точка $\bar{E}$ — середина ребра $BC$ куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Найдите угол между плоскостями $DC_1E$ и $BB_1D_1$.

Для нахождения угла между плоскостями $DC_1E$ и $BB_1D_1$ воспользуемся координатным методом. Введем прямоугольную систему координат с началом в точке $D$. Направим ось $Ox$ вдоль ребра $DA$, ось $Oy$ вдоль ребра $DC$ и ось $Oz$ вдоль ребра $DD_1$. Примем длину ребра куба равной $a$. Для удобства вычислений положим $a=2$.

В этой системе координат найдем координаты необходимых нам точек:

• $D(0, 0, 0)$ — начало координат.
• $C(0, 2, 0)$, $B(2, 2, 0)$.
• $C_1(0, 2, 2)$, $B_1(2, 2, 2)$, $D_1(0, 0, 2)$.
• Точка $E$ — середина ребра $BC$, поэтому ее координаты равны полусумме координат точек $B$ и $C$: $E = (\frac{2+0}{2}, \frac{2+2}{2}, \frac{0+0}{2}) = (1, 2, 0)$.

Найдем вектор нормали $\vec{n_1}$ к плоскости $DC_1E$. Эта плоскость проходит через точки $D(0, 0, 0)$, $C_1(0, 2, 2)$ и $E(1, 2, 0)$. Вектор нормали можно найти как векторное произведение векторов $\vec{DE}$ и $\vec{DC_1}$.

Координаты векторов: $\vec{DE} = (1, 2, 0)$ и $\vec{DC_1} = (0, 2, 2)$.

Вычислим их векторное произведение:

$\vec{n_1} = \vec{DE} \times \vec{DC_1} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 2 & 0 \\ 0 & 2 & 2 \end{vmatrix} = \vec{i}(2 \cdot 2 - 0 \cdot 2) - \vec{j}(1 \cdot 2 - 0 \cdot 0) + \vec{k}(1 \cdot 2 - 0 \cdot 2) = 4\vec{i} - 2\vec{j} + 2\vec{k}$

Таким образом, вектор нормали $\vec{n_1}$ имеет координаты $(4, -2, 2)$. Для удобства можно взять коллинеарный ему вектор, разделив координаты на 2: $\vec{n_1} = (2, -1, 1)$.

Далее найдем вектор нормали $\vec{n_2}$ к плоскости $BB_1D_1$. Эта плоскость является диагональной плоскостью куба $BB_1D_1D$. Она проходит через точки $B(2, 2, 0)$, $B_1(2, 2, 2)$ и $D_1(0, 0, 2)$, а также через точку $D(0, 0, 0)$. Уравнение плоскости, проходящей через начало координат, имеет вид $Ax+By+Cz=0$. Подставив координаты точки $B(2, 2, 0)$, получим $2A+2B=0 \Rightarrow A=-B$. Подставив координаты точки $D_1(0, 0, 2)$, получим $2C=0 \Rightarrow C=0$. Следовательно, уравнение плоскости имеет вид $-Bx+By=0$, или $x-y=0$. Вектор нормали этой плоскости $\vec{n_2}=(1, -1, 0)$.

Угол $\phi$ между двумя плоскостями равен углу между их векторами нормали. Косинус этого угла можно найти по формуле:

$\cos \phi = \frac{|\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}|}{|\vec{n_1}| \cdot |\vec{n_2}|}$

Найдем скалярное произведение векторов $\vec{n_1} = (2, -1, 1)$ и $\vec{n_2} = (1, -1, 0)$:

$\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = 2 \cdot 1 + (-1) \cdot (-1) + 1 \cdot 0 = 2 + 1 + 0 = 3$

Найдем длины векторов нормали:

$|\vec{n_1}| = \sqrt{2^2 + (-1)^2 + 1^2} = \sqrt{4+1+1} = \sqrt{6}$

$|\vec{n_2}| = \sqrt{1^2 + (-1)^2 + 0^2} = \sqrt{1+1+0} = \sqrt{2}$

Теперь подставим все значения в формулу для косинуса угла:

$\cos \phi = \frac{|3|}{\sqrt{6} \cdot \sqrt{2}} = \frac{3}{\sqrt{12}} = \frac{3}{2\sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{3}}{2 \cdot 3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Отсюда находим угол $\phi$:

$\phi = \arccos(\frac{\sqrt{3}}{2}) = 30^\circ$

Ответ: $30^\circ$.