Номер 16.22, страница 180 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

16.22. В тетраэдре DABC углы ADB, BDC и CDA прямые. Площади граней ABC и ABD равны соответственно $S$ и $S_1$. Найдите площадь проекции треугольника ABD на плоскость ABC.

Пусть $S_{proj}$ - искомая площадь проекции треугольника $ABD$ на плоскость $ABC$. По определению, площадь ортогональной проекции фигуры на плоскость равна площади самой фигуры, умноженной на косинус двугранного угла между плоскостью фигуры и плоскостью проекции.

Обозначим двугранный угол между плоскостями $(ABD)$ и $(ABC)$ как $\alpha$. Тогда искомая площадь вычисляется по формуле:

$S_{proj} = S_{ABD} \cdot \cos(\alpha)$

По условию, площадь грани $ABD$ равна $S_1$. Таким образом, формула принимает вид:

$S_{proj} = S_1 \cdot \cos(\alpha)$

Чтобы найти $\cos(\alpha)$, рассмотрим проекцию треугольника $ABC$ на плоскость $(ABD)$. Площадь этой проекции, обозначим ее $S'_{proj}$, связана с площадью треугольника $ABC$ той же формулой:

$S'_{proj} = S_{ABC} \cdot \cos(\alpha)$

По условию, $S_{ABC} = S$, следовательно:

$S'_{proj} = S \cdot \cos(\alpha)$

Теперь найдем, что представляет собой проекция треугольника $ABC$ на плоскость $(ABD)$. В тетраэдре $DABC$ углы $\angle ADB$, $\angle BDC$ и $\angle CDA$ прямые. Это означает, что ребра $DA$, $DB$ и $DC$ попарно перпендикулярны. Можно совместить вершину $D$ с началом координат, а ребра $DA$, $DB$, $DC$ направить вдоль осей $Ox$, $Oy$, $Oz$ соответственно.

В такой системе координат:

• Вершина $A$ будет иметь координаты $(a, 0, 0)$.
• Вершина $B$ будет иметь координаты $(0, b, 0)$.
• Вершина $C$ будет иметь координаты $(0, 0, c)$.
• Вершина $D$ - это начало координат $(0, 0, 0)$.

Плоскость $(ABD)$ совпадает с координатной плоскостью $Oxy$. Ортогональная проекция точки $(x, y, z)$ на плоскость $Oxy$ есть точка $(x, y, 0)$.Найдем проекции вершин треугольника $ABC$ на плоскость $(ABD)$:

• Проекция точки $A(a, 0, 0)$ есть сама точка $A$.
• Проекция точки $B(0, b, 0)$ есть сама точка $B$.
• Проекция точки $C(0, 0, c)$ есть точка $D(0, 0, 0)$.

Таким образом, проекцией треугольника $ABC$ на плоскость $(ABD)$ является треугольник $ABD$.

Следовательно, площадь проекции $S'_{proj}$ равна площади треугольника $ABD$, то есть $S_1$:

$S'_{proj} = S_{ABD} = S_1$

Теперь мы можем приравнять два выражения для $S'_{proj}$:

$S \cdot \cos(\alpha) = S_1$

Отсюда выражаем косинус двугранного угла $\alpha$:

$\cos(\alpha) = \frac{S_1}{S}$

Наконец, подставляем найденное значение $\cos(\alpha)$ в формулу для искомой площади проекции треугольника $ABD$ на плоскость $ABC$:

$S_{proj} = S_1 \cdot \cos(\alpha) = S_1 \cdot \frac{S_1}{S} = \frac{S_1^2}{S}$

Ответ: $\frac{S_1^2}{S}$.