Номер 16.29, страница 181 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

16.29. В треугольнике $ABC$ известно, что $AB = 4 \text{ см}$, $\angle BAC = 30^\circ$ и радиус описанной окружности равен 3 см. Докажите, что высота, проведённая к стороне $AB$, меньше 3 см.

Пусть $h_c$ — высота треугольника $ABC$, проведённая из вершины $C$ к стороне $AB$.Высоту $h_c$ можно выразить через длину стороны $BC$ (обозначим её как $a$) и синус угла $\angle ABC$ (обозначим его как $\angle B$):$h_c = a \cdot \sin(\angle B)$.

Для нахождения длины стороны $a$ воспользуемся обобщённой теоремой синусов для треугольника $ABC$:$\frac{a}{\sin(\angle A)} = 2R$,где $R$ — радиус описанной окружности.

По условию задачи известны $\angle A = \angle BAC = 30^{\circ}$ и $R = 3$ см.Выразим и вычислим $a$:$a = 2R \cdot \sin(\angle A) = 2 \cdot 3 \cdot \sin(30^{\circ})$.Поскольку значение $\sin(30^{\circ}) = \frac{1}{2}$, получаем:$a = 6 \cdot \frac{1}{2} = 3$ см.

Теперь подставим найденное значение $a=3$ в формулу для высоты $h_c$:$h_c = 3 \cdot \sin(\angle B)$.

Для любого угла треугольника $\angle B$ справедливо, что $0^{\circ} < \angle B < 180^{\circ}$. В этом диапазоне значений синус угла удовлетворяет неравенству $0 < \sin(\angle B) \le 1$.Равенство $\sin(\angle B) = 1$ возможно только в том случае, если $\angle B = 90^{\circ}$.

Проверим, может ли угол $B$ быть прямым. Если предположить, что $\angle B = 90^{\circ}$, то, учитывая, что $\angle A = 30^{\circ}$, угол $\angle C$ должен быть равен $180^{\circ} - 90^{\circ} - 30^{\circ} = 60^{\circ}$.Тогда по теореме синусов сторона $c = AB$ была бы равна:$c = 2R \cdot \sin(\angle C) = 2 \cdot 3 \cdot \sin(60^{\circ}) = 6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3}$ см.

Однако, по условию задачи, длина стороны $AB$ равна 4 см. Сравним это значение с полученным:$4^2 = 16$$(3\sqrt{3})^2 = 9 \cdot 3 = 27$Так как $16 \ne 27$, то $4 \ne 3\sqrt{3}$. Это означает, что наше предположение о том, что $\angle B = 90^{\circ}$, неверно.Следовательно, $\angle B \ne 90^{\circ}$.

Поскольку $\angle B \ne 90^{\circ}$, то для синуса этого угла выполняется строгое неравенство: $\sin(\angle B) < 1$.Тогда для высоты $h_c$ получаем:$h_c = 3 \cdot \sin(\angle B) < 3 \cdot 1 = 3$ см.Таким образом, доказано, что высота, проведённая к стороне $AB$, меньше 3 см, что и требовалось доказать.

Ответ: Высота, проведённая к стороне $AB$, строго меньше 3 см, что было доказано выше.