Номер 17.4, страница 186 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

17.4. Плоские углы $ASB$, $BSC$ и $CSA$ трёхгранного угла $SABC$ равны $45^{\circ}$, $45^{\circ}$ и $60^{\circ}$ соответственно. Найдите двугранный угол при ребре $SB$.

Для нахождения двугранного угла трёхгранного угла можно воспользоваться теоремой косинусов для трёхгранного угла (аналог сферической теоремы косинусов). Пусть S — вершина трёхгранного угла, а SA, SB, SC — его рёбра.

Обозначим плоские углы:

$\angle ASB = \gamma = 45^{\circ}$

$\angle BSC = \alpha = 45^{\circ}$

$\angle CSA = \beta = 60^{\circ}$

Пусть $A$, $B$, $C$ — двугранные углы при рёбрах SA, SB, SC соответственно. Нам нужно найти двугранный угол при ребре SB, то есть угол $B$.

Теорема косинусов для трёхгранного угла связывает плоские углы и двугранный угол, противолежащий одному из них. Формула для двугранного угла $B$ при ребре SB, которому противолежит плоский угол $\beta = \angle CSA$, выглядит следующим образом:

$\cos(\beta) = \cos(\alpha) \cos(\gamma) + \sin(\alpha) \sin(\gamma) \cos(B)$

Выразим из этой формулы $\cos(B)$:

$\cos(B) = \frac{\cos(\beta) - \cos(\alpha) \cos(\gamma)}{\sin(\alpha) \sin(\gamma)}$

Подставим известные значения углов:

$\alpha = 45^{\circ}$

$\gamma = 45^{\circ}$

$\beta = 60^{\circ}$

Нам известны значения тригонометрических функций для этих углов:

$\cos(45^{\circ}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\sin(45^{\circ}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\cos(60^{\circ}) = \frac{1}{2}$

Подставляем эти значения в формулу для $\cos(B)$:

$\cos(B) = \frac{\cos(60^{\circ}) - \cos(45^{\circ}) \cos(45^{\circ})}{\sin(45^{\circ}) \sin(45^{\circ})} = \frac{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}$

Выполним вычисления в числителе и знаменателе:

$\cos(B) = \frac{\frac{1}{2} - \frac{2}{4}}{\frac{2}{4}} = \frac{\frac{1}{2} - \frac{1}{2}}{\frac{1}{2}} = \frac{0}{\frac{1}{2}} = 0$

Теперь найдём сам угол $B$:

$B = \arccos(0)$

$B = 90^{\circ}$

Таким образом, двугранный угол при ребре SB равен $90^{\circ}$.

Ответ: $90^{\circ}$.