Номер 17.11, страница 186 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

17.11. Все рёбра $n$-угольной пирамиды равны 1 см. Найдите все возможные значения $n$.

Пусть дана $n$-угольная пирамида, у которой все рёбра равны $a=1$ см. Основанием такой пирамиды является правильный $n$-угольник со стороной $a=1$. Боковые грани представляют собой равносторонние треугольники со стороной $a=1$.

Обозначим вершину пирамиды через $S$, а вершины основания — через $A_1, A_2, \dots, A_n$. Так как все боковые рёбра $SA_i$ равны между собой, вершина $S$ проецируется в центр $O$ описанной окружности основания. Пусть $H$ — высота пирамиды (длина отрезка $SO$), а $R$ — радиус описанной окружности основания (длина отрезка $OA_i$).

Рассмотрим прямоугольный треугольник $SOA_i$. По теореме Пифагора, квадрат длины бокового ребра (гипотенузы) равен сумме квадратов высоты и радиуса описанной окружности основания (катетов):
$SA_i^2 = SO^2 + OA_i^2$
Подставляя известные значения, получаем:
$1^2 = H^2 + R^2$
$H^2 = 1 - R^2$

Для того чтобы пирамида существовала в трёхмерном пространстве, её высота должна быть строго положительной, то есть $H > 0$. Это эквивалентно условию $H^2 > 0$. Следовательно, должно выполняться неравенство:
$1 - R^2 > 0 \implies R^2 < 1 \implies R < 1$ (так как радиус $R$ — величина положительная).

Теперь найдём радиус $R$ описанной окружности правильного $n$-угольника со стороной $a=1$. Формула для радиуса описанной окружности:
$R = \frac{a}{2 \sin(\frac{\pi}{n})}$
Поскольку $a=1$, получаем:
$R = \frac{1}{2 \sin(\frac{\pi}{n})}$

Подставим это выражение в наше неравенство $R < 1$:
$\frac{1}{2 \sin(\frac{\pi}{n})} < 1$

Так как $n$ — это количество сторон многоугольника в основании, $n$ должно быть целым числом, и $n \ge 3$. Для таких $n$ угол $\frac{\pi}{n}$ находится в интервале $(0, \frac{\pi}{3}]$, а значит, $\sin(\frac{\pi}{n}) > 0$. Мы можем умножить обе части неравенства на $2 \sin(\frac{\pi}{n})$, не меняя знака неравенства:
$1 < 2 \sin(\frac{\pi}{n})$
$\sin(\frac{\pi}{n}) > \frac{1}{2}$

Известно, что $\sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$. Так как для $n \ge 3$ угол $\frac{\pi}{n}$ находится в интервале $(0, \frac{\pi}{2})$, где функция синуса возрастает, неравенство $\sin(\frac{\pi}{n}) > \sin(\frac{\pi}{6})$ равносильно неравенству:
$\frac{\pi}{n} > \frac{\pi}{6}$

Разделив обе части на $\pi$, получаем:
$\frac{1}{n} > \frac{1}{6}$

Так как $n$ — положительное число, мы можем "перевернуть" дроби, изменив знак неравенства на противоположный:
$n < 6$

Таким образом, мы получили два условия для $n$:

1. $n \ge 3$ (геометрическое условие для существования многоугольника).
2. $n < 6$ (условие для существования пирамиды с положительной высотой).

Объединяя эти условия, находим, что $n$ может принимать следующие целые значения: 3, 4, 5.

Действительно, при $n=3$ получается правильный тетраэдр, при $n=4$ — правильная четырёхугольная пирамида (половина октаэдра), при $n=5$ — правильная пятиугольная пирамида ("шапка" икосаэдра). При $n=6$ радиус описанной окружности основания $R$ равен стороне $a=1$, что приводит к нулевой высоте ($H^2 = 1-1^2=0$), и пирамида вырождается в плоскую фигуру. При $n>6$ радиус $R$ становится больше 1, что делает высоту мнимой величиной.

Ответ: 3, 4, 5.