Номер 17.13, страница 186 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

17.13. Все плоские углы трёхгранного угла равны $90'$. Найдите углы между биссектрисами этих плоских углов.

Для решения задачи воспользуемся координатным методом. Пусть вершина трёхгранного угла совпадает с началом координат $O(0, 0, 0)$, а его рёбра направлены вдоль положительных полуосей координат $Ox$, $Oy$ и $Oz$. Такое расположение возможно, поскольку по условию все плоские углы равны $90^\circ$, то есть рёбра попарно перпендикулярны.

Направляющими векторами рёбер можно выбрать единичные векторы (орты) координатных осей:

• Ребро вдоль оси $Ox$: вектор $\vec{i} = (1, 0, 0)$
• Ребро вдоль оси $Oy$: вектор $\vec{j} = (0, 1, 0)$
• Ребро вдоль оси $Oz$: вектор $\vec{k} = (0, 0, 1)$

Плоские углы этого трёхгранного угла лежат в координатных плоскостях $Oxy$, $Oyz$ и $Ozx$. Нам нужно найти биссектрисы этих углов. Направляющий вектор биссектрисы угла, образованного двумя векторами одинаковой длины, можно найти как сумму этих векторов.

1. Биссектриса плоского угла в плоскости $Oxy$ (между рёбрами с векторами $\vec{i}$ и $\vec{j}$) будет иметь направляющий вектор $\vec{b_1} = \vec{i} + \vec{j} = (1, 1, 0)$.
2. Биссектриса плоского угла в плоскости $Oyz$ (между рёбрами с векторами $\vec{j}$ и $\vec{k}$) будет иметь направляющий вектор $\vec{b_2} = \vec{j} + \vec{k} = (0, 1, 1)$.
3. Биссектриса плоского угла в плоскости $Ozx$ (между рёбрами с векторами $\vec{k}$ и $\vec{i}$) будет иметь направляющий вектор $\vec{b_3} = \vec{k} + \vec{i} = (1, 0, 1)$.

Теперь необходимо найти углы между этими тремя биссектрисами. В силу симметрии задачи, все три угла между парами биссектрис ($\angle(\vec{b_1}, \vec{b_2})$, $\angle(\vec{b_2}, \vec{b_3})$, $\angle(\vec{b_3}, \vec{b_1})$) будут равны. Найдём один из них, например, угол $\alpha$ между векторами $\vec{b_1}$ и $\vec{b_2}$.

Косинус угла между двумя векторами находится по формуле скалярного произведения: $\cos \alpha = \frac{\vec{b_1} \cdot \vec{b_2}}{|\vec{b_1}| \cdot |\vec{b_2}|}$

Вычислим скалярное произведение векторов $\vec{b_1}$ и $\vec{b_2}$: $\vec{b_1} \cdot \vec{b_2} = (1 \cdot 0) + (1 \cdot 1) + (0 \cdot 1) = 1$.

Вычислим длины (модули) этих векторов: $|\vec{b_1}| = \sqrt{1^2 + 1^2 + 0^2} = \sqrt{2}$. $|\vec{b_2}| = \sqrt{0^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$.

Подставим найденные значения в формулу для косинуса угла: $\cos \alpha = \frac{1}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{1}{2}$.

Отсюда находим сам угол $\alpha$: $\alpha = \arccos\left(\frac{1}{2}\right) = 60^\circ$.

Поскольку все углы между биссектрисами одинаковы, каждый из них равен $60^\circ$.

Ответ: $60^\circ$.