Номер 17.9, страница 186 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

17.9. В прямоугольном параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ ребро $AD$ равно 1 см, а каждое из рёбер $AB$ и $AA_1$ равно 2 см. Найдите угол между плоскостями $AB_1D$ и $CB_1D$.

Для решения задачи воспользуемся координатным методом. Введем прямоугольную систему координат с началом в точке $A$. Направим ось $Ox$ вдоль ребра $AB$, ось $Oy$ вдоль ребра $AD$ и ось $Oz$ вдоль ребра $AA_1$.

В этой системе координат, согласно условию ($AD=1$ см, $AB=2$ см, $AA_1=2$ см), координаты необходимых для решения вершин будут следующими:

• $A(0, 0, 0)$
• $C$: так как $AB=2$ и $AD=1$, то $C(2, 1, 0)$
• $D(0, 1, 0)$
• $B_1$: так как $AB=2$ и $AA_1=2$, то $B_1(2, 0, 2)$

Угол между двумя плоскостями равен углу между их нормальными векторами. Найдем уравнения плоскостей $AB_1D$ и $CB_1D$ и их векторы нормали.

Найдем нормальный вектор $\vec{n_1}$ к плоскости $AB_1D$. Эта плоскость проходит через точки $A(0, 0, 0)$, $B_1(2, 0, 2)$ и $D(0, 1, 0)$. Составим векторы, лежащие в этой плоскости:

$\vec{AD} = D - A = (0-0, 1-0, 0-0) = (0, 1, 0)$

$\vec{AB_1} = B_1 - A = (2-0, 0-0, 2-0) = (2, 0, 2)$

Вектор нормали $\vec{n_1}$ перпендикулярен обоим этим векторам, поэтому его можно найти как их векторное произведение:

$\vec{n_1} = \vec{AD} \times \vec{AB_1} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 0 & 1 & 0 \\ 2 & 0 & 2 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(1 \cdot 2 - 0 \cdot 0) - \mathbf{j}(0 \cdot 2 - 0 \cdot 2) + \mathbf{k}(0 \cdot 0 - 1 \cdot 2) = 2\mathbf{i} - 0\mathbf{j} - 2\mathbf{k} = (2, 0, -2)$.

Для упрощения можно взять коллинеарный вектор, разделив координаты на 2: $\vec{n_1} = (1, 0, -1)$.

Теперь найдем нормальный вектор $\vec{n_2}$ к плоскости $CB_1D$. Эта плоскость проходит через точки $C(2, 1, 0)$, $B_1(2, 0, 2)$ и $D(0, 1, 0)$. Составим векторы, лежащие в этой плоскости:

$\vec{DC} = C - D = (2-0, 1-1, 0-0) = (2, 0, 0)$

$\vec{DB_1} = B_1 - D = (2-0, 0-1, 2-0) = (2, -1, 2)$

Вектор нормали $\vec{n_2}$ найдем как их векторное произведение:

$\vec{n_2} = \vec{DC} \times \vec{DB_1} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 2 & 0 & 0 \\ 2 & -1 & 2 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(0 \cdot 2 - 0 \cdot (-1)) - \mathbf{j}(2 \cdot 2 - 0 \cdot 2) + \mathbf{k}(2 \cdot (-1) - 0 \cdot 2) = 0\mathbf{i} - 4\mathbf{j} - 2\mathbf{k} = (0, -4, -2)$.

Для упрощения можно взять коллинеарный вектор, разделив координаты на -2: $\vec{n_2} = (0, 2, 1)$.

Угол $\phi$ между плоскостями находится по формуле косинуса угла между их нормальными векторами:

$\cos \phi = \frac{|\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}|}{|\vec{n_1}| \cdot |\vec{n_2}|}$

Вычислим скалярное произведение векторов $\vec{n_1}$ и $\vec{n_2}$:

$\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = 1 \cdot 0 + 0 \cdot 2 + (-1) \cdot 1 = -1$.

Вычислим модули (длины) векторов:

$|\vec{n_1}| = \sqrt{1^2 + 0^2 + (-1)^2} = \sqrt{1+0+1} = \sqrt{2}$.

$|\vec{n_2}| = \sqrt{0^2 + 2^2 + 1^2} = \sqrt{0+4+1} = \sqrt{5}$.

Подставим найденные значения в формулу для косинуса угла:

$\cos \phi = \frac{|-1|}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{5}} = \frac{1}{\sqrt{10}}$.

Искомый угол $\phi$ равен арккосинусу этого значения.

Ответ: $\arccos\left(\frac{1}{\sqrt{10}}\right)$.