Номер 17.5, страница 186 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

17.5. Плоские углы $ASB$, $BSC$ и $CSA$ трёхгранного угла $SABC$ равны $45^\circ$, $45^\circ$ и $60^\circ$ соответственно. Найдите двугранный угол при ребре $SC$.

Пусть $S$ — вершина трехгранного угла, а $SA$, $SB$, $SC$ — его ребра. По условию, плоские углы равны: $\angle ASB = 45^\circ$, $\angle BSC = 45^\circ$ и $\angle CSA = 60^\circ$. Требуется найти двугранный угол при ребре $SC$. Этот угол измеряется линейным углом, который образуется двумя лучами, проведенными в гранях $(ASC)$ и $(BSC)$ из одной точки на ребре $SC$ и перпендикулярно ему.

Для нахождения этого угла выполним следующее построение:

1. На ребре $SC$ выберем произвольную точку $P$. Для удобства вычислений положим длину отрезка $SP$ равной 1, т.е. $SP=1$.
2. В плоскости грани $(ASC)$ проведем через точку $P$ прямую, перпендикулярную $SC$. Пусть эта прямая пересекает ребро $SA$ в точке $A'$. Треугольник $\triangle SPA'$ является прямоугольным с $\angle SPA' = 90^\circ$.
3. Аналогично, в плоскости грани $(BSC)$ проведем через точку $P$ прямую, перпендикулярную $SC$. Пусть эта прямая пересекает ребро $SB$ в точке $B'$. Треугольник $\triangle SPB'$ является прямоугольным с $\angle SPB' = 90^\circ$.

По определению, линейный угол искомого двугранного угла — это угол $\angle A'PB'$. Чтобы найти его величину, мы вычислим длины сторон треугольника $\triangle A'PB'$ и применим к нему теорему косинусов.

1. Вычисление сторон в плоскости ASC
Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle SPA'$. Угол $\angle A'SP$ равен плоскому углу $\angle CSA = 60^\circ$. Катет $SP=1$. Найдем длину второго катета $PA'$ и гипотенузы $SA'$:$PA' = SP \cdot \tan(\angle A'SP) = 1 \cdot \tan(60^\circ) = \sqrt{3}$
$SA' = \frac{SP}{\cos(\angle A'SP)} = \frac{1}{\cos(60^\circ)} = \frac{1}{1/2} = 2$

2. Вычисление сторон в плоскости BSC
Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle SPB'$. Угол $\angle B'SP$ равен плоскому углу $\angle BSC = 45^\circ$. Катет $SP=1$. Найдем длину второго катета $PB'$ и гипотенузы $SB'$:$PB' = SP \cdot \tan(\angle B'SP) = 1 \cdot \tan(45^\circ) = 1$
$SB' = \frac{SP}{\cos(\angle B'SP)} = \frac{1}{\cos(45^\circ)} = \frac{1}{\sqrt{2}/2} = \sqrt{2}$

3. Вычисление стороны A'B'
Рассмотрим треугольник $\triangle A'SB'$. Нам известны длины двух его сторон $SA'=2$, $SB'=\sqrt{2}$ и угол между ними $\angle A'SB' = \angle ASB = 45^\circ$. По теореме косинусов найдем длину стороны $A'B'$:
$(A'B')^2 = (SA')^2 + (SB')^2 - 2 \cdot SA' \cdot SB' \cdot \cos(\angle A'SB')$
$(A'B')^2 = 2^2 + (\sqrt{2})^2 - 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{2} \cdot \cos(45^\circ)$
$(A'B')^2 = 4 + 2 - 4\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 6 - \frac{4 \cdot 2}{2} = 6 - 4 = 2$
$A'B' = \sqrt{2}$

4. Нахождение искомого угла
Теперь рассмотрим треугольник $\triangle A'PB'$, в котором мы знаем длины всех трех сторон: $PA' = \sqrt{3}$, $PB' = 1$ и $A'B' = \sqrt{2}$. Обозначим искомый угол $\angle A'PB'$ как $\varphi$. Применим теорему косинусов для этого треугольника:
$(A'B')^2 = (PA')^2 + (PB')^2 - 2 \cdot PA' \cdot PB' \cdot \cos(\varphi)$
$(\sqrt{2})^2 = (\sqrt{3})^2 + 1^2 - 2 \cdot \sqrt{3} \cdot 1 \cdot \cos(\varphi)$
$2 = 3 + 1 - 2\sqrt{3} \cos(\varphi)$
$2 = 4 - 2\sqrt{3} \cos(\varphi)$
$2\sqrt{3} \cos(\varphi) = 4 - 2 = 2$
$\cos(\varphi) = \frac{2}{2\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$
Отсюда находим искомый угол: $\varphi = \arccos\left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right)$.

Ответ: $\arccos\left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right)$.