Номер 17.1, страница 186 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

17.1. Все плоские углы трёхгранного угла равны $90^\circ$. Докажите, что все двугранные углы также равны $90^\circ$.

17.1.

Пусть трёхгранный угол задан вершиной $O$ и тремя лучами (рёбрами) $a$, $b$ и $c$, исходящими из этой вершины. Плоские углы этого трёхгранного угла — это углы между его рёбрами: $\angle(a, b)$, $\angle(b, c)$ и $\angle(c, a)$.По условию задачи, все эти плоские углы равны $90^\circ$. Это означает, что рёбра попарно перпендикулярны:

• $\angle(a, b) = 90^\circ \implies a \perp b$
• $\angle(b, c) = 90^\circ \implies b \perp c$
• $\angle(c, a) = 90^\circ \implies c \perp a$

Двугранные углы — это углы между гранями (плоскостями, образованными парами рёбер). Нам нужно доказать, что двугранные углы при рёбрах $a$, $b$ и $c$ также равны $90^\circ$.

1. Рассмотрим двугранный угол при ребре $c$. Этот угол образован плоскостями $(a, c)$ и $(b, c)$.По определению, мерой двугранного угла является его линейный угол. Линейный угол — это угол, образованный двумя лучами, которые проведены в гранях двугранного угла перпендикулярно его ребру из одной и той же точки на ребре. В нашем случае такой точкой является вершина $O$.

В плоскости $(a, c)$ лежит луч $a$, и по условию он перпендикулярен ребру $c$ ($a \perp c$).
В плоскости $(b, c)$ лежит луч $b$, и по условию он также перпендикулярен ребру $c$ ($b \perp c$).
Следовательно, угол между лучами $a$ и $b$, то есть плоский угол $\angle(a, b)$, является линейным углом двугранного угла при ребре $c$.По условию $\angle(a, b) = 90^\circ$. Значит, и двугранный угол при ребре $c$ равен $90^\circ$.

2. Рассмотрим двугранный угол при ребре $a$. Этот угол образован плоскостями $(a, b)$ и $(a, c)$. Его линейным углом является плоский угол $\angle(b, c)$, так как $b \perp a$ и $c \perp a$. Поскольку $\angle(b, c) = 90^\circ$, то и двугранный угол при ребре $a$ равен $90^\circ$.

3. Рассмотрим двугранный угол при ребре $b$. Этот угол образован плоскостями $(a, b)$ и $(b, c)$. Его линейным углом является плоский угол $\angle(a, c)$, так как $a \perp b$ и $c \perp b$. Поскольку $\angle(a, c) = 90^\circ$, то и двугранный угол при ребре $b$ равен $90^\circ$.

Таким образом, доказано, что все три двугранных угла данного трёхгранного угла равны $90^\circ$.

Ответ: все двугранные углы трёхгранного угла равны $90^\circ$.