Номер 17.6, страница 186 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

17.6. Плоские углы $ASB$ и $BSC$ трёхгранного угла $SABC$ равны $45^\circ$. Двугранный угол при ребре $SB$ равен $60^\circ$. Найдите плоский угол $ASC$.

Для решения данной задачи используется теорема косинусов для трёхгранного угла. Эта теорема связывает три плоских угла при вершине и один из двугранных углов.

Пусть дан трёхгранный угол $SABC$ с вершиной в точке $S$. Обозначим его плоские углы: $\angle ASB$, $\angle BSC$ и $\angle ASC$. Двугранный угол при ребре $SB$ — это угол между плоскостями $(ASB)$ и $(BSC)$.

По условию задачи известны:

1. Плоский угол $\angle ASB = 45^\circ$.

2. Плоский угол $\angle BSC = 45^\circ$.

3. Двугранный угол при ребре $SB$ равен $60^\circ$.

Требуется найти плоский угол $\angle ASC$.

Теорема косинусов для трёхгранного угла, которая позволяет найти плоский угол, противолежащий ребру с известным двугранным углом, формулируется следующим образом:

$\cos(\angle ASC) = \cos(\angle ASB) \cdot \cos(\angle BSC) + \sin(\angle ASB) \cdot \sin(\angle BSC) \cdot \cos(\phi_{SB})$

где $\phi_{SB}$ — двугранный угол при ребре $SB$.

Подставим в формулу заданные значения:

$\cos(\angle ASC) = \cos(45^\circ) \cdot \cos(45^\circ) + \sin(45^\circ) \cdot \sin(45^\circ) \cdot \cos(60^\circ)$

Используем известные значения тригонометрических функций:

$\cos(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\cos(60^\circ) = \frac{1}{2}$

Произведем вычисления:

$\cos(\angle ASC) = \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) \cdot \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) + \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) \cdot \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) \cdot \frac{1}{2}$

$\cos(\angle ASC) = \frac{2}{4} + \frac{2}{4} \cdot \frac{1}{2}$

$\cos(\angle ASC) = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}$

$\cos(\angle ASC) = \frac{1}{2} + \frac{1}{4}$

$\cos(\angle ASC) = \frac{3}{4}$

Искомый плоский угол $\angle ASC$ равен арккосинусу полученного значения:

$\angle ASC = \arccos\left(\frac{3}{4}\right)$

Ответ: $\arccos\left(\frac{3}{4}\right)$.