Номер 17.10, страница 186 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

17.10. В прямоугольном параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ рёбра $AB, AD$ и $AA_1$ равны 4 см, 3 см и $\sqrt{11}$ см соответственно. Найдите угол между плоскостями $ABD_1$ и $CBD_1$.

Для нахождения угла между плоскостями $ABD_1$ и $CBD_1$ воспользуемся координатным методом. Угол между двумя пересекающимися плоскостями равен углу между их нормальными векторами.

Введем прямоугольную систему координат с началом в точке $A(0,0,0)$. Направим ось Ox вдоль ребра $AB$, ось Oy вдоль ребра $AD$, и ось Oz вдоль ребра $AA_1$. В соответствии с условием задачи, длины ребер равны $AB = 4$, $AD = 3$, $AA_1 = \sqrt{11}$.
В этой системе координат необходимые нам вершины имеют следующие координаты: $A(0, 0, 0)$, $B(4, 0, 0)$, $C(4, 3, 0)$, $D_1(0, 3, \sqrt{11})$.

Нахождение нормального вектора к плоскости $ABD_1$
Плоскость $ABD_1$ задается точками $A(0,0,0)$, $B(4,0,0)$ и $D_1(0,3,\sqrt{11})$. В качестве направляющих векторов плоскости можно взять векторы $\vec{AB} = (4, 0, 0)$ и $\vec{AD_1} = (0, 3, \sqrt{11})$. Нормальный вектор $\vec{n_1}$ к плоскости перпендикулярен этим векторам, и его можно найти как их векторное произведение:
$\vec{n_1} = \vec{AB} \times \vec{AD_1} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 4 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & \sqrt{11} \end{vmatrix} = \mathbf{i}(0 \cdot \sqrt{11} - 0 \cdot 3) - \mathbf{j}(4 \cdot \sqrt{11} - 0 \cdot 0) + \mathbf{k}(4 \cdot 3 - 0 \cdot 0) = (0, -4\sqrt{11}, 12)$.
Для упрощения вычислений можно использовать любой коллинеарный вектор, например, разделив координаты $\vec{n_1}$ на -4: $\vec{n_1'} = (0, \sqrt{11}, -3)$.

Нахождение нормального вектора к плоскости $CBD_1$
Плоскость $CBD_1$ задается точками $C(4,3,0)$, $B(4,0,0)$ и $D_1(0,3,\sqrt{11})$. В качестве направляющих векторов плоскости можно взять векторы $\vec{BC} = (0, 3, 0)$ и $\vec{BD_1} = (-4, 3, \sqrt{11})$. Нормальный вектор $\vec{n_2}$ найдем как их векторное произведение:
$\vec{n_2} = \vec{BC} \times \vec{BD_1} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 0 & 3 & 0 \\ -4 & 3 & \sqrt{11} \end{vmatrix} = \mathbf{i}(3 \cdot \sqrt{11} - 0 \cdot 3) - \mathbf{j}(0 \cdot \sqrt{11} - 0 \cdot (-4)) + \mathbf{k}(0 \cdot 3 - 3 \cdot (-4)) = (3\sqrt{11}, 0, 12)$.
Для упрощения вычислений возьмем коллинеарный вектор, разделив координаты $\vec{n_2}$ на 3: $\vec{n_2'} = (\sqrt{11}, 0, 4)$.

Нахождение угла между плоскостями
Угол $\alpha$ между плоскостями определяется по формуле косинуса угла между их нормальными векторами:
$\cos \alpha = \frac{|\vec{n_1'} \cdot \vec{n_2'}|}{||\vec{n_1'}|| \cdot ||\vec{n_2'}||}$
Вычислим скалярное произведение векторов $\vec{n_1'} = (0, \sqrt{11}, -3)$ и $\vec{n_2'} = (\sqrt{11}, 0, 4)$:
$\vec{n_1'} \cdot \vec{n_2'} = 0 \cdot \sqrt{11} + \sqrt{11} \cdot 0 + (-3) \cdot 4 = -12$.
Вычислим длины (модули) векторов:
$||\vec{n_1'}|| = \sqrt{0^2 + (\sqrt{11})^2 + (-3)^2} = \sqrt{11 + 9} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$.
$||\vec{n_2'}|| = \sqrt{(\sqrt{11})^2 + 0^2 + 4^2} = \sqrt{11 + 16} = \sqrt{27} = 3\sqrt{3}$.
Подставим найденные значения в формулу:
$\cos \alpha = \frac{|-12|}{2\sqrt{5} \cdot 3\sqrt{3}} = \frac{12}{6\sqrt{15}} = \frac{2}{\sqrt{15}} = \frac{2\sqrt{15}}{15}$.
Таким образом, искомый угол равен $\alpha = \arccos\left(\frac{2\sqrt{15}}{15}\right)$.

Ответ: $\arccos\left(\frac{2\sqrt{15}}{15}\right)$.