Номер 17.3, страница 186 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

17.3. Докажите, что если все плоские углы трёхгранного угла больше $90^\circ$, то все его двугранные углы также больше $90^\circ$.

Пусть дан трёхгранный угол с вершиной в точке $S$ и рёбрами, исходящими из неё. Обозначим плоские углы этого трёхгранного угла как $\alpha$, $\beta$ и $\gamma$. По условию задачи, все эти углы больше $90^\circ$:

$\alpha > 90^\circ$

$\beta > 90^\circ$

$\gamma > 90^\circ$

Обозначим двугранные углы, противолежащие плоским углам $\alpha$, $\beta$ и $\gamma$, как $A$, $B$ и $C$ соответственно. Нам необходимо доказать, что все двугранные углы также больше $90^\circ$, то есть $A > 90^\circ$, $B > 90^\circ$ и $C > 90^\circ$.

Для доказательства воспользуемся первой теоремой косинусов для трёхгранного угла, которая связывает величину двугранного угла с величинами трёх плоских углов. Для двугранного угла $A$ формула имеет вид:

$\cos \alpha = \cos \beta \cos \gamma + \sin \beta \sin \gamma \cos A$

Выразим из этой формулы косинус двугранного угла $A$:

$\cos A = \frac{\cos \alpha - \cos \beta \cos \gamma}{\sin \beta \sin \gamma}$

Чтобы доказать, что угол $A > 90^\circ$, нам нужно показать, что его косинус отрицателен ($\cos A < 0$), так как двугранные углы находятся в диапазоне от $0^\circ$ до $180^\circ$.

Проанализируем знак числителя и знаменателя полученной дроби.

1. Знаменатель: $\sin \beta \sin \gamma$

Плоские углы трёхгранного угла всегда находятся в интервале $(0^\circ, 180^\circ)$. По условию, $\beta > 90^\circ$ и $\gamma > 90^\circ$. Следовательно, углы $\beta$ и $\gamma$ лежат во второй четверти ($90^\circ < \beta < 180^\circ$, $90^\circ < \gamma < 180^\circ$). Синус угла во второй четверти положителен, поэтому $\sin \beta > 0$ и $\sin \gamma > 0$. Их произведение также будет положительным: $\sin \beta \sin \gamma > 0$.

2. Числитель: $\cos \alpha - \cos \beta \cos \gamma$

По условию, все плоские углы $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ больше $90^\circ$. Косинус угла во второй четверти отрицателен. Таким образом:

$\cos \alpha < 0$

$\cos \beta < 0$

$\cos \gamma < 0$

Произведение двух отрицательных чисел $\cos \beta \cos \gamma$ будет положительным: $\cos \beta \cos \gamma > 0$.

Тогда числитель представляет собой разность отрицательного числа ($\cos \alpha$) и положительного числа ($\cos \beta \cos \gamma$). Такая разность всегда отрицательна:

$\cos \alpha - (\cos \beta \cos \gamma) = (\text{отрицательное}) - (\text{положительное}) < 0$.

Заключение для угла $A$

Поскольку числитель дроби отрицателен, а знаменатель положителен, значение дроби будет отрицательным:

$\cos A = \frac{\text{отрицательное}}{\text{положительное}} < 0$

Так как $\cos A < 0$, двугранный угол $A$ является тупым, то есть $A > 90^\circ$.

Поскольку рассуждения симметричны для всех трёх двугранных углов, мы можем сделать аналогичные выводы для углов $B$ и $C$. Формулы для их косинусов:

$\cos B = \frac{\cos \beta - \cos \alpha \cos \gamma}{\sin \alpha \sin \gamma}$

$\cos C = \frac{\cos \gamma - \cos \alpha \cos \beta}{\sin \alpha \sin \beta}$

В обоих случаях числители будут отрицательны, а знаменатели положительны, следовательно, $\cos B < 0$ и $\cos C < 0$. Это означает, что $B > 90^\circ$ и $C > 90^\circ$.

Таким образом, доказано, что если все плоские углы трёхгранного угла больше $90^\circ$, то все его двугранные углы также больше $90^\circ$.

Ответ: Утверждение доказано. Если все плоские углы трёхгранного угла ($\alpha, \beta, \gamma$) больше $90^\circ$, то из теоремы косинусов для трёхгранного угла (например, $\cos A = \frac{\cos \alpha - \cos \beta \cos \gamma}{\sin \beta \sin \gamma}$) следует, что косинус любого двугранного угла ($A, B, C$) будет отрицательным. Это происходит потому, что числитель дроби ($\cos \alpha - \cos \beta \cos \gamma$) отрицателен, а знаменатель ($\sin \beta \sin \gamma$) положителен. Отрицательный косинус для угла в диапазоне от $0^\circ$ до $180^\circ$ однозначно означает, что угол больше $90^\circ$.