Номер 17.18, страница 187 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

17.18. Докажите, что в любой треугольной пирамиде найдётся вершина, при которой все плоские углы меньше $90^\circ$.

Для доказательства используем метод от противного. Предположим, что в треугольной пирамиде у каждой вершины есть хотя бы один плоский угол, который не меньше $90^\circ$ (то есть прямой или тупой).

Пусть вершины пирамиды — A, B, C, D. В каждой из 4 вершин (A, B, C, D) есть по крайней мере один плоский угол, равный или больший $90^\circ$. Обозначим эти углы $\alpha_A, \alpha_B, \alpha_C, \alpha_D$.

Каждый из этих углов принадлежит одной из четырёх граней пирамиды, которые являются треугольниками. В любом треугольнике может быть не более одного угла, который не является острым (т.е. $\ge 90^\circ$). Если бы два таких угла, например $\alpha_A$ и $\alpha_B$, принадлежали одной и той же грани (скажем, $\triangle ABC$), то сумма двух углов этого треугольника была бы не меньше $90^\circ + 90^\circ = 180^\circ$, что невозможно.

Следовательно, все четыре не-острых угла $\alpha_A, \alpha_B, \alpha_C, \alpha_D$ должны принадлежать четырём разным граням. Поскольку у треугольной пирамиды ровно 4 грани, это означает, что в каждой грани есть ровно один не-острый угол.

Это предположение устанавливает соответствие между вершинами и гранями: каждой вершине $V$ сопоставляется та грань $F$, в которой находится её не-острый угол $\alpha_V$. Это соответствие является взаимно-однозначным (биекцией).

Рассмотрим один из возможных вариантов такого соответствия. Пусть:

• Не-острый угол при вершине A ($\alpha_A$) — это $\angle CAD$ в грани $\triangle ACD$.
• Не-острый угол при вершине B ($\alpha_B$) — это $\angle ABC$ в грани $\triangle ABC$.
• Не-острый угол при вершине C ($\alpha_C$) — это $\angle BCD$ в грани $\triangle BCD$.
• Не-острый угол при вершине D ($\alpha_D$) — это $\angle ADB$ в грани $\triangle ABD$.

Теперь применим теорему косинусов для каждого из этих четырёх треугольников. Если угол $\theta$ в треугольнике со сторонами $x, y, z$ (где $z$ — сторона, противолежащая углу $\theta$) не является острым, то $\cos\theta \le 0$, и из теоремы косинусов $z^2 = x^2 + y^2 - 2xy\cos\theta$ следует, что $z^2 \ge x^2 + y^2$.

Применим это к нашим четырём углам:

1. Для $\triangle ACD$ с $\angle CAD \ge 90^\circ$: $CD^2 \ge AC^2 + AD^2$
2. Для $\triangle ABC$ с $\angle ABC \ge 90^\circ$: $AC^2 \ge AB^2 + BC^2$
3. Для $\triangle BCD$ с $\angle BCD \ge 90^\circ$: $BD^2 \ge BC^2 + CD^2$
4. Для $\triangle ABD$ с $\angle ADB \ge 90^\circ$: $AB^2 \ge AD^2 + BD^2$

Теперь сложим все четыре полученных неравенства:

$CD^2 + AC^2 + BD^2 + AB^2 \ge (AC^2 + AD^2) + (AB^2 + BC^2) + (BC^2 + CD^2) + (AD^2 + BD^2)$

Соберём слагаемые в правой части:

$CD^2 + AC^2 + BD^2 + AB^2 \ge AB^2 + AC^2 + CD^2 + BD^2 + 2AD^2 + 2BC^2$

Сократим одинаковые члены в обеих частях неравенства:

$0 \ge 2AD^2 + 2BC^2$

$0 \ge 2(AD^2 + BC^2)$

Поскольку $AD$ и $BC$ — это длины рёбер пирамиды, они являются положительными величинами. Следовательно, их квадраты $AD^2$ и $BC^2$ также строго положительны. Их сумма $AD^2 + BC^2$ строго положительна. Тогда и выражение $2(AD^2 + BC^2)$ строго положительно.

Мы пришли к неравенству $0 \ge (\text{положительное число})$, что является противоречием.

Это противоречие означает, что наше первоначальное предположение было неверным. Следовательно, неверно, что у каждой вершины есть плоский угол не меньше $90^\circ$. Значит, должна найтись хотя бы одна вершина, у которой все плоские углы меньше $90^\circ$.

Доказательство:

Предположим противное: у каждой из четырёх вершин пирамиды имеется хотя бы один плоский угол, величина которого не меньше $90^\circ$.

В треугольнике может быть не более одного не-острого угла. Так как у пирамиды 4 вершины, то должно быть не менее 4-х не-острых плоских углов, причём все они должны лежать в разных гранях. Поскольку граней у пирамиды тоже 4, то каждая грань является прямоугольным или тупоугольным треугольником.

Рассмотрим один из возможных случаев распределения таких углов по граням. Пусть в $\triangle ACD$ не-острый угол при вершине A ($\angle CAD \ge 90^\circ$), в $\triangle ABC$ — при вершине B ($\angle ABC \ge 90^\circ$), в $\triangle BCD$ — при вершине C ($\angle BCD \ge 90^\circ$), и в $\triangle ABD$ — при вершине D ($\angle ADB \ge 90^\circ$).

По следствию из теоремы косинусов для треугольника, сторона, лежащая против не-острого угла, больше или равна по квадрату сумме квадратов двух других сторон. Запишем это для каждой грани:

$CD^2 \ge AC^2 + AD^2$

$AC^2 \ge AB^2 + BC^2$

$BD^2 \ge BC^2 + CD^2$

$AB^2 \ge AD^2 + BD^2$

Сложим эти четыре неравенства:

$CD^2 + AC^2 + BD^2 + AB^2 \ge (AC^2 + AD^2) + (AB^2 + BC^2) + (BC^2 + CD^2) + (AD^2 + BD^2)$

После приведения подобных слагаемых в правой части получим:

$CD^2 + AC^2 + BD^2 + AB^2 \ge AC^2 + AD^2 + AB^2 + BC^2 + BC^2 + CD^2 + AD^2 + BD^2$

$CD^2 + AC^2 + BD^2 + AB^2 \ge (CD^2 + AC^2 + BD^2 + AB^2) + 2(AD^2 + BC^2)$

Вычитая из обеих частей одинаковые слагаемые, приходим к неравенству:

$0 \ge 2(AD^2 + BC^2)$

Длины рёбер $AD$ и $BC$ — положительные числа, значит, сумма их квадратов $AD^2+BC^2$ также строго положительна. Полученное неравенство ложно. Следовательно, исходное предположение неверно.

Таким образом, в любой треугольной пирамиде найдётся вершина, при которой все плоские углы меньше $90^\circ$.

Ответ: Утверждение доказано.