Номер 17.21, страница 187 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

17.21. Все двугранные углы трёхгранного угла равны $90^\circ$. Докажите, что все его плоские углы также равны $90^\circ$.

Пусть дан трёхгранный угол с вершиной в точке $O$. Его рёбрами являются лучи $a, b, c$, а гранями — плоскости, проходящие через пары этих лучей: $(ab), (bc), (ca)$.

По условию задачи, все двугранные углы этого трёхгранного угла равны $90^\circ$. Двугранный угол — это угол между гранями. Таким образом, все три грани $(ab), (bc), (ca)$ взаимно перпендикулярны.

Для доказательства воспользуемся методом координат. Поместим вершину $O$ трёхгранного угла в начало прямоугольной декартовой системы координат $(0, 0, 0)$. Поскольку три грани угла взаимно перпендикулярны, мы можем совместить их с координатными плоскостями:

• Пусть грань $(ab)$ совпадает с плоскостью $Oxy$.
• Пусть грань $(bc)$ совпадает с плоскостью $Oyz$.
• Пусть грань $(ca)$ совпадает с плоскостью $Oxz$.

Рёбра трёхгранного угла являются линиями пересечения его граней. В выбранной системе координат:

• Ребро $a$ является линией пересечения граней $(ca)$ и $(ab)$, то есть плоскостей $Oxz$ и $Oxy$. Их линией пересечения является ось абсцисс $Ox$.
• Ребро $b$ является линией пересечения граней $(ab)$ и $(bc)$, то есть плоскостей $Oxy$ и $Oyz$. Их линией пересечения является ось ординат $Oy$.
• Ребро $c$ является линией пересечения граней $(bc)$ и $(ca)$, то есть плоскостей $Oyz$ и $Oxz$. Их линией пересечения является ось аппликат $Oz$.

Таким образом, рёбра нашего трёхгранного угла совпадают с осями координат $Ox, Oy, Oz$.

Плоские углы трёхгранного угла — это углы между его рёбрами. В нашей системе координат оси взаимно перпендикулярны, поэтому:

• Плоский угол между рёбрами $a$ и $b$ (осями $Ox$ и $Oy$) равен $90^\circ$.
• Плоский угол между рёбрами $b$ и $c$ (осями $Oy$ и $Oz$) равен $90^\circ$.
• Плоский угол между рёбрами $c$ и $a$ (осями $Oz$ и $Ox$) равен $90^\circ$.

Следовательно, мы доказали, что все плоские углы данного трёхгранного угла также равны $90^\circ$.

Ответ: Утверждение доказано. Если все двугранные углы трёхгранного угла равны $90^\circ$, то его грани можно совместить с тремя взаимно перпендикулярными координатными плоскостями. Тогда рёбра угла совпадут с осями координат, которые также взаимно перпендикулярны. Следовательно, все плоские углы между рёбрами будут равны $90^\circ$.