Номер 17.26, страница 187 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

17.26. (Теорема синусов для трёхгранного угла.) Плоские углы $ASB$, $BSC$, $CSA$ трёхгранного угла $SABC$ равны $\alpha$, $\beta$ и $\gamma$ соответственно. Двугранные углы при рёбрах $SC$, $SA$ и $SB$ равны $\alpha_1$, $\beta_1$ и $\gamma_1$ соответственно. Докажите равенство $\frac{\sin \alpha_1}{\sin \alpha} = \frac{\sin \beta_1}{\sin \beta} = \frac{\sin \gamma_1}{\sin \gamma}$.

Пусть дан трёхгранный угол $SABC$ с вершиной в точке $S$. Введём обозначения в соответствии с условием задачи:

• Плоские углы при вершине: $\angle ASB = \alpha$, $\angle BSC = \beta$, $\angle CSA = \gamma$.
• Двугранные углы при рёбрах: угол при ребре $SC$ равен $\alpha_1$, при ребре $SA$ — $\beta_1$, при ребре $SB$ — $\gamma_1$.

Требуется доказать так называемую теорему синусов для трёхгранного угла:

$\frac{\sin \alpha_1}{\sin \alpha} = \frac{\sin \beta_1}{\sin \beta} = \frac{\sin \gamma_1}{\sin \gamma}$

Доказательство проведём в два этапа. Сначала докажем равенство $\frac{\sin \beta_1}{\sin \beta} = \frac{\sin \gamma_1}{\sin \gamma}$, а затем, по аналогии, получим оставшуюся часть равенства.

Доказательство равенства $\frac{\sin \beta_1}{\sin \beta} = \frac{\sin \gamma_1}{\sin \gamma}$

1. На ребре $SC$ выберем произвольную точку $C_0$. Для удобства можно положить $SC_0=1$, но доказательство будет верным для любой длины $d=SC_0$.

2. Из точки $C_0$ опустим перпендикуляр $C_0H$ на плоскость противолежащей грани $ASB$.

3. Из точки $H$ (основания этого перпендикуляра) опустим перпендикуляры $HA_0$ на ребро $SA$ и $HB_0$ на ребро $SB$.

4. По теореме о трёх перпендикулярах, если проекция $HC_0$ прямой $C_0C_0$ перпендикулярна, так, стоп. По теореме о трёх перпендикулярах, если проекция наклонной на плоскость перпендикулярна некоторой прямой в этой плоскости, то и сама наклонная перпендикулярна этой прямой.

• Так как $C_0H \perp (ASB)$, то $HA_0$ — проекция наклонной $C_0A_0$ на плоскость $ASB$. Поскольку $HA_0 \perp SA$, то и $C_0A_0 \perp SA$.
• Аналогично, $HB_0$ — проекция наклонной $C_0B_0$ на плоскость $ASB$. Поскольку $HB_0 \perp SB$, то и $C_0B_0 \perp SB$.

5. Теперь рассмотрим прямоугольные треугольники $\triangle SC_0A_0$ (прямой угол при $A_0$) и $\triangle SC_0B_0$ (прямой угол при $B_0$). В них мы можем выразить длины катетов $C_0A_0$ и $C_0B_0$:

• $C_0A_0 = SC_0 \cdot \sin(\angle ASC) = d \cdot \sin\gamma$.
• $C_0B_0 = SC_0 \cdot \sin(\angle BSC) = d \cdot \sin\beta$.

6. Углы $\angle C_0A_0H$ и $\angle C_0B_0H$ являются линейными углами двугранных углов при рёбрах $SA$ и $SB$ соответственно. Это следует из того, что их стороны перпендикулярны соответствующему ребру ($C_0A_0 \perp SA$ и $HA_0 \perp SA$; $C_0B_0 \perp SB$ и $HB_0 \perp SB$).

• $\angle C_0A_0H = \beta_1$ (двугранный угол при ребре $SA$).
• $\angle C_0B_0H = \gamma_1$ (двугранный угол при ребре $SB$).

7. Теперь рассмотрим прямоугольные треугольники $\triangle C_0HA_0$ и $\triangle C_0HB_0$ (прямые углы при $H$, так как $C_0H$ — перпендикуляр к плоскости $ASB$). В них мы можем выразить длину общего катета $C_0H$:

• Из $\triangle C_0HA_0$: $C_0H = C_0A_0 \cdot \sin(\angle C_0A_0H) = (d \sin\gamma) \cdot \sin\beta_1$.
• Из $\triangle C_0HB_0$: $C_0H = C_0B_0 \cdot \sin(\angle C_0B_0H) = (d \sin\beta) \cdot \sin\gamma_1$.

8. Приравнивая два полученных выражения для длины $C_0H$, получаем:$d \sin\gamma \sin\beta_1 = d \sin\beta \sin\gamma_1$

9. Сократив на $d$ (которое не равно нулю) и перегруппировав члены, приходим к равенству:$\frac{\sin \beta_1}{\sin \beta} = \frac{\sin \gamma_1}{\sin \gamma}$

Это доказывает первую часть требуемого равенства.

Завершение доказательства

Равенство $\frac{\sin \alpha_1}{\sin \alpha} = \frac{\sin \beta_1}{\sin \beta}$ доказывается абсолютно аналогично. Для этого нужно выбрать точку на ребре $SB$ и опустить перпендикуляр на плоскость $ASC$. В результате аналогичных выкладок будет получено равенство $\sin\alpha \cdot \sin\beta_1 = \sin\beta \cdot \sin\alpha_1$, откуда и следует искомое соотношение.

Объединяя два полученных равенства:$\frac{\sin \beta_1}{\sin \beta} = \frac{\sin \gamma_1}{\sin \gamma}$ и $\frac{\sin \alpha_1}{\sin \alpha} = \frac{\sin \beta_1}{\sin \beta}$, мы приходим к окончательному результату.

Ответ: Равенство $\frac{\sin \alpha_1}{\sin \alpha} = \frac{\sin \beta_1}{\sin \beta} = \frac{\sin \gamma_1}{\sin \gamma}$ доказано.