Номер 17.31, страница 188 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

17.31. В окружность вписаны две равнобокие трапеции с соответственно параллельными сторонами. Докажите, что диагональ одной из них равна диагонали другой трапеции.

Пусть в окружности $\omega$ с центром в точке $O$ вписаны две равнобокие трапеции $ABCD$ (с основаниями $AD$ и $BC$) и $A'B'C'D'$ (с основаниями $A'D'$ и $B'C'$).

По условию, стороны трапеций соответственно параллельны. Это означает, что:$AB \parallel A'B'$, $BC \parallel B'C'$, $CD \parallel C'D'$, $DA \parallel D'A'$.

Воспользуемся известным свойством параллельных хорд в окружности: если две хорды окружности параллельны, то дуги, заключенные между их концами, равны. Применим это свойство к каждой паре соответствующих параллельных сторон данных трапеций.

• Из $AB \parallel A'B'$ следует, что дуга, соединяющая $A$ и $A'$, равна дуге, соединяющей $B$ и $B'$, то есть $\smile AA' = \smile BB'$.
• Из $BC \parallel B'C'$ следует, что $\smile BB' = \smile CC'$.
• Из $CD \parallel C'D'$ следует, что $\smile CC' = \smile DD'$.
• Из $DA \parallel D'A'$ следует, что $\smile DD' = \smile AA'$.

Из этих равенств следует, что все четыре дуги, соединяющие соответственные вершины трапеций, равны между собой:$$ \smile AA' = \smile BB' = \smile CC' = \smile DD' $$

Равенство дуг означает, что центральные углы, опирающиеся на эти дуги, также равны:$$ \angle AOA' = \angle BOB' = \angle COC' = \angle DOD' $$Это значит, что вершины трапеции $A'B'C'D'$ получаются из вершин трапеции $ABCD$ поворотом на один и тот же угол $\delta$ вокруг центра окружности $O$. Таким образом, трапеция $A'B'C'D'$ является образом трапеции $ABCD$ при повороте $R_O^\delta$ вокруг центра $O$.

Поворот является движением (изометрией). Угол между любой прямой и ее образом при повороте равен углу поворота $\delta$. По условию, соответствующие стороны трапеций параллельны (то есть угол между ними равен $0$ или $\pi$). Например, прямая $AB$ параллельна своему образу — прямой $A'B'$. Это возможно только в двух случаях:
1. Угол поворота $\delta = 0$. В этом случае трапеции совпадают ($A'B'C'D'$ это та же трапеция, что и $ABCD$), и их диагонали, очевидно, равны.
2. Угол поворота $\delta = \pi$ ($180^\circ$). В этом случае поворот является центральной симметрией относительно центра окружности $O$.

В обоих случаях преобразование, переводящее одну трапецию в другую, является изометрией, то есть сохраняет расстояния между точками. Следовательно, расстояние между точками $A$ и $C$ (длина диагонали $AC$) равно расстоянию между их образами $A'$ и $C'$ (длина диагонали $A'C'$).$$ AC = A'C' $$Таким образом, диагональ одной трапеции равна диагонали другой, что и требовалось доказать.

Стоит заметить, что условие о том, что трапеции являются равнобокими, избыточно, так как любая трапеция, вписанная в окружность, по определению является равнобокой.

Ответ: Утверждение доказано. Диагональ одной трапеции равна диагонали другой.