Номер 18.1, страница 191 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

18.1. На данной прямой $l$ найдите точки, равноудалённые от данных точек $A$ и $B$.

Пусть искомая точка, лежащая на прямой $l$, обозначается как $X$. По условию задачи, эта точка должна быть равноудалена от данных точек $A$ и $B$. Это означает, что расстояние от $X$ до $A$ равно расстоянию от $X$ до $B$, то есть $XA = XB$.

Геометрическое место точек (ГМТ), равноудалённых от двух данных точек (в нашем случае $A$ и $B$), есть серединный перпендикуляр к отрезку, соединяющему эти точки ($AB$). Обозначим этот серединный перпендикуляр как прямую $m$.

Таким образом, искомая точка $X$ должна одновременно принадлежать двум множествам:
1. Прямой $l$, согласно условию задачи.
2. Серединному перпендикуляру $m$ к отрезку $AB$, так как $X$ равноудалена от $A$ и $B$.

Следовательно, чтобы найти искомую точку (или точки), необходимо найти точки пересечения прямой $l$ и серединного перпендикуляра $m$ к отрезку $AB$. Количество решений задачи зависит от взаимного расположения этих двух прямых.

Рассмотрим три возможных случая:

1. Прямая $l$ пересекает серединный перпендикуляр $m$
Если прямые $l$ и $m$ не параллельны, они пересекаются в одной-единственной точке. Эта точка пересечения и будет искомой точкой, так как она одновременно лежит на прямой $l$ и равноудалена от точек $A$ и $B$. Это наиболее общий случай.
Ответ: Существует ровно одна такая точка — это точка пересечения прямой $l$ и серединного перпендикуляра к отрезку $AB$.

2. Прямая $l$ параллельна серединному перпендикуляру $m$ и не совпадает с ним
Если прямые $l$ и $m$ параллельны, но не являются одной и той же прямой, они не имеют общих точек. Это означает, что на прямой $l$ не существует точек, равноудалённых от $A$ и $B$. Такая ситуация возникает, когда прямая $l$ перпендикулярна отрезку $AB$, но не проходит через его середину.
Ответ: В этом случае искомых точек не существует.

3. Прямая $l$ совпадает с серединным перпендикуляром $m$
Если данная прямая $l$ и есть серединный перпендикуляр $m$ к отрезку $AB$, то любая точка, лежащая на прямой $l$, по определению серединного перпендикуляра равноудалена от точек $A$ и $B$.
Ответ: В этом случае любая точка прямой $l$ является решением, то есть существует бесконечное множество искомых точек.