Номер 18.7, страница 191 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

18.7. Найдите ГМТ середин всех отрезков, концы которых принадлежат двум данным параллельным плоскостям.

Пусть даны две параллельные плоскости $\alpha$ и $\beta$. Введем декартову систему координат так, чтобы эти плоскости были параллельны плоскости $Oxy$. Тогда их уравнения можно записать в виде:

Плоскость $\alpha: z = a$

Плоскость $\beta: z = b$

где $a$ и $b$ — некоторые константы, причем $a \neq b$.

Возьмем произвольную точку $A$ на плоскости $\alpha$ и произвольную точку $B$ на плоскости $\beta$. Их координаты будут:

$A(x_1, y_1, a)$

$B(x_2, y_2, b)$

Пусть точка $M(x, y, z)$ — середина отрезка $AB$. Найдем ее координаты по формуле середины отрезка:

$x = \frac{x_1 + x_2}{2}$

$y = \frac{y_1 + y_2}{2}$

$z = \frac{a + b}{2}$

Из этих формул видно, что аппликата (координата $z$) любой точки $M$ является постоянной величиной, равной $\frac{a + b}{2}$. Это означает, что все такие точки $M$ лежат в плоскости, уравнение которой $z = \frac{a + b}{2}$.

Эта плоскость, назовем ее $\gamma$, параллельна исходным плоскостям $\alpha$ и $\beta$, так как ее нормальный вектор $(0, 0, 1)$ коллинеарен их нормальным векторам. Расстояние от плоскости $\gamma$ до плоскости $\alpha$ равно $|\frac{a + b}{2} - a| = |\frac{b - a}{2}|$. Расстояние от плоскости $\gamma$ до плоскости $\beta$ равно $|\frac{a + b}{2} - b| = |\frac{a - b}{2}|$. Так как $|b-a| = |a-b|$, плоскость $\gamma$ равноудалена от плоскостей $\alpha$ и $\beta$, то есть находится ровно посередине между ними.

Теперь покажем, что любая точка плоскости $\gamma$ принадлежит искомому ГМТ. Возьмем произвольную точку $M_0(x_0, y_0, \frac{a+b}{2})$ в этой плоскости. Нам нужно доказать, что существуют такие точки $A$ в $\alpha$ и $B$ в $\beta$, что $M_0$ является серединой отрезка $AB$. Например, выберем точку $A(2x_0, 2y_0, a)$. Эта точка лежит в плоскости $\alpha$. Найдем координаты точки $B(x_2, y_2, b)$ из условия, что $M_0$ — середина $AB$:

$x_0 = \frac{2x_0 + x_2}{2} \implies 2x_0 = 2x_0 + x_2 \implies x_2 = 0$

$y_0 = \frac{2y_0 + y_2}{2} \implies 2y_0 = 2y_0 + y_2 \implies y_2 = 0$

Таким образом, мы нашли точку $B(0, 0, b)$, которая лежит в плоскости $\beta$. Серединой отрезка с концами $A(2x_0, 2y_0, a)$ и $B(0, 0, b)$ является точка $M_0(x_0, y_0, \frac{a+b}{2})$.

Поскольку для любой точки плоскости $z = \frac{a + b}{2}$ мы можем найти отрезок, для которого она является серединой, то искомое геометрическое место точек — это вся плоскость.

Ответ: Плоскость, параллельная данным плоскостям и проходящая посередине между ними.