Номер 18.14, страница 192 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

18.14. Дан треугольник $ABC$. Найдите ГМТ, равноудалённых от прямых $AB$, $BC$ и $CA$.

Геометрическое место точек (ГМТ), равноудалённых от двух пересекающихся прямых, представляет собой пару биссектрис углов, образованных этими прямыми.

Пусть искомая точка – это точка $M$. Прямые $AB$, $BC$ и $CA$ являются сторонами треугольника $ABC$. Условие задачи означает, что расстояние от точки $M$ до каждой из этих прямых одинаково. Обозначим расстояние от точки $M$ до прямой $L$ как $d(M, L)$. Тогда нам нужно найти все точки $M$, для которых выполняется равенство:$d(M, AB) = d(M, BC) = d(M, CA)$.

Это равенство можно разбить на три условия:

• Равенство $d(M, AB) = d(M, AC)$ означает, что точка $M$ лежит на одной из биссектрис углов, образованных прямыми $AB$ и $AC$. Это либо биссектриса внутреннего угла $A$ треугольника $ABC$, либо биссектриса внешнего угла при вершине $A$.
• Аналогично, из $d(M, AB) = d(M, BC)$ следует, что $M$ лежит на одной из биссектрис угла $B$ (внутренней или внешней).
• Из $d(M, BC) = d(M, AC)$ следует, что $M$ лежит на одной из биссектрис угла $C$ (внутренней или внешней).

Следовательно, искомые точки являются точками пересечения биссектрис (внутренних или внешних) углов треугольника $ABC$. Рассмотрим возможные комбинации:

1. Пересечение трех внутренних биссектрис.
   Биссектрисы трех внутренних углов треугольника пересекаются в одной точке. Эта точка является центром вписанной в треугольник окружности (инцентром). Она по определению равноудалена от всех трех сторон (прямых) треугольника. Таким образом, инцентр является одной из точек искомого ГМТ.
2. Пересечение одной внутренней и двух внешних биссектрис.
   Биссектриса внутреннего угла при одной вершине (например, $A$) и биссектрисы внешних углов при двух других вершинах ($B$ и $C$) также пересекаются в одной точке. Эта точка является центром вневписанной окружности треугольника $ABC$, которая касается стороны $BC$ и продолжений сторон $AB$ и $AC$. Эта точка равноудалена от прямых $AB$, $BC$ и $AC$.
   Поскольку такой центр можно построить для каждой стороны треугольника, существует три такие точки (центры вневписанных окружностей или эксцентры). Каждая из них принадлежит искомому ГМТ.

Другие комбинации (три внешние биссектрисы или две внутренние и одна внешняя) не приводят к общей точке пересечения для невырожденного треугольника. Например, точка пересечения внутренних биссектрис углов $A$ и $B$ (инцентр) лежит на внутренней биссектрисе угла $C$, а не на внешней.

Таким образом, искомое геометрическое место точек состоит ровно из четырех точек.

Ответ: Искомое ГМТ — это множество, состоящее из четырех точек: центр вписанной окружности (инцентр) и три центра вневписанных окружностей (эксцентры) треугольника $ABC$.