Номер 18.12, страница 192 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

18.12. Даны точки A и B. Найдите геометрическое место точек X таких, что $AX > BX$.

Геометрическое место точек (ГМТ) — это множество всех точек плоскости, удовлетворяющих заданному условию. В данном случае условие состоит в том, что расстояние от искомой точки $X$ до точки $A$ строго больше, чем расстояние от точки $X$ до точки $B$. Математически это записывается как $AX > BX$.

Для начала рассмотрим граничный случай, когда расстояния равны: $AX = BX$. Множество всех точек, равноудаленных от двух данных точек $A$ и $B$, является срединным перпендикуляром к отрезку $AB$. Обозначим эту прямую как $l$.

Прямая $l$ делит всю плоскость на две открытые полуплоскости.

• В одной полуплоскости, содержащей точку $A$, для любой точки $X$ будет выполняться неравенство $AX < BX$. Это означает, что все точки в этой полуплоскости находятся ближе к $A$, чем к $B$.
• В другой полуплоскости, содержащей точку $B$, для любой точки $X$ будет выполняться неравенство $AX > BX$. Это означает, что все точки в этой полуплоскости находятся ближе к $B$, чем к $A$ (и, соответственно, дальше от $A$, чем от $B$).

Поскольку по условию задачи требуется найти геометрическое место точек $X$, для которых $AX > BX$, то искомым множеством является открытая полуплоскость, которая ограничена срединным перпендикуляром к отрезку $AB$ и содержит точку $B$.

Проведем строгое доказательство с помощью метода координат. Введем систему координат так, чтобы она была удобна для вычислений. Пусть точки $A$ и $B$ лежат на оси $Ox$, а начало координат является серединой отрезка $AB$. Если длина отрезка $AB$ равна $2c$ (где $c > 0$), то координаты точек будут $A(-c, 0)$ и $B(c, 0)$. Пусть искомая точка $X$ имеет произвольные координаты $(x, y)$.

Найдем квадраты расстояний от точки $X$ до точек $A$ и $B$:
$AX^2 = (x - (-c))^2 + (y - 0)^2 = (x+c)^2 + y^2$
$BX^2 = (x - c)^2 + (y - 0)^2 = (x-c)^2 + y^2$

Исходное неравенство $AX > BX$ эквивалентно неравенству $AX^2 > BX^2$, так как расстояния являются неотрицательными величинами. Подставим выражения для квадратов расстояний:
$(x+c)^2 + y^2 > (x-c)^2 + y^2$
Раскроем скобки:
$x^2 + 2cx + c^2 + y^2 > x^2 - 2cx + c^2 + y^2$
Упростим неравенство, сократив одинаковые слагаемые ($x^2, y^2, c^2$):
$2cx > -2cx$
$4cx > 0$
Поскольку $c > 0$, мы можем разделить обе части неравенства на $4c$, не меняя его знака:
$x > 0$

Неравенство $x > 0$ описывает открытую полуплоскость, расположенную справа от оси $Oy$ (прямой $x=0$). В выбранной нами системе координат ось $Oy$ является срединным перпендикуляром к отрезку $AB$. Точка $B(c, 0)$ с положительной абсциссой $c$ принадлежит этой полуплоскости.

Таким образом, оба метода приводят к одному и тому же результату.

Ответ: Искомое геометрическое место точек — это открытая полуплоскость, границей которой является срединный перпендикуляр к отрезку $AB$, и которая содержит точку $B$.