Номер 18.6, страница 191 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

18.6. Найдите ГМТ, равноудаленных от двух пересекающихся плоскостей.

Пусть даны две пересекающиеся плоскости $\alpha$ и $\beta$. Линией их пересечения является прямая $l$. Требуется найти геометрическое место точек (ГМТ), равноудалённых от этих плоскостей.

Обозначим расстояние от произвольной точки $M$ до плоскости $\alpha$ как $d(M, \alpha)$, а до плоскости $\beta$ — как $d(M, \beta)$. Искомое ГМТ — это множество всех точек $M$, для которых выполняется условие $d(M, \alpha) = d(M, \beta)$.

Рассмотрим произвольную точку $M$, удовлетворяющую этому условию. Опустим из точки $M$ перпендикуляры $MA$ на плоскость $\alpha$ и $MB$ на плоскость $\beta$. По определению расстояния, длина отрезка $MA$ равна $d(M, \alpha)$, а длина отрезка $MB$ равна $d(M, \beta)$. Таким образом, по условию $MA = MB$.

Проведём через произвольную точку $O$ на прямой $l$ плоскость $\gamma$, перпендикулярную прямой $l$. Плоскость $\gamma$ пересечёт плоскости $\alpha$ и $\beta$ по прямым $a$ и $b$ соответственно, которые также проходят через точку $O$. Угол между прямыми $a$ и $b$ является линейным углом одного из двугранных углов, образованных плоскостями $\alpha$ и $\beta$.

Любая точка $M$, равноудалённая от плоскостей $\alpha$ и $\beta$ и лежащая в плоскости $\gamma$, будет равноудалена от прямых $a$ и $b$. Это следует из того, что перпендикуляры, опущенные из точки $M$ на плоскости $\alpha$ и $\beta$, будут лежать в плоскости $\gamma$ и будут перпендикулярны прямым $a$ и $b$ соответственно. Таким образом, трёхмерная задача сводится к двумерной задаче в плоскости $\gamma$: найти ГМТ, равноудалённых от двух пересекающихся прямых $a$ и $b$.

Из планиметрии известно, что геометрическим местом точек, равноудалённых от двух пересекающихся прямых, является пара взаимно перпендикулярных прямых, которые являются биссектрисами углов, образованных исходными прямыми.

Так как точка $O$ на прямой $l$ и, соответственно, плоскость $\gamma$ были выбраны произвольно, то искомое ГМТ в пространстве является объединением таких пар биссектрис для всех возможных положений точки $O$ на прямой $l$. Это объединение образует две плоскости.

Эти две плоскости проходят через общую прямую $l$ и делят пополам двугранные углы, образованные плоскостями $\alpha$ и $\beta$. Такие плоскости называются биссекторными плоскостями.

Две пересекающиеся плоскости образуют две пары равных вертикальных двугранных углов. Два смежных двугранных угла в сумме составляют $180^\circ$. Биссекторные плоскости этих смежных углов будут взаимно перпендикулярны. Если один двугранный угол равен $2\theta$, то смежный с ним равен $180^\circ - 2\theta$. Биссекторные плоскости делят эти углы пополам, и угол между ними будет равен $\theta + \frac{180^\circ - 2\theta}{2} = \theta + 90^\circ - \theta = 90^\circ$.

Таким образом, искомое ГМТ — это пара взаимно перпендикулярных плоскостей, являющихся биссектрисами двугранных углов, образованных данными плоскостями.

Ответ: Геометрическим местом точек, равноудалённых от двух пересекающихся плоскостей, является пара взаимно перпендикулярных плоскостей, проходящих через линию пересечения данных плоскостей и делящих пополам двугранные углы, образованные этими плоскостями.