Номер 18.9, страница 191 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

18.9. Точка $M$ не принадлежит плоскости $\pi$. Найдите геометрическое место точек $X$ плоскости $\pi$ таких, что прямые $MX$ образуют с плоскостью $\pi$ углы, равные данному углу $\alpha$.

Пусть $O$ — это ортогональная проекция точки $M$ на плоскость $π$. Расстояние от точки $M$ до плоскости $π$ равно длине перпендикуляра $MO$. Обозначим это расстояние как $h$, то есть $MO = h$. По условию, точка $M$ не принадлежит плоскости $π$, следовательно, $h > 0$.

Для любой точки $X$, принадлежащей плоскости $π$, отрезок $MX$ является наклонной к плоскости $π$, а отрезок $OX$ — её проекцией на эту плоскость. Угол между прямой $MX$ и плоскостью $π$ по определению есть угол между наклонной $MX$ и её проекцией $OX$, то есть угол $\angle MXO$. По условию задачи, $\angle MXO = \alpha$.

Рассмотрим треугольник $\triangle MOX$. Поскольку $MO$ — перпендикуляр к плоскости $π$, а прямая $OX$ лежит в этой плоскости и проходит через точку $O$, то $MO \perp OX$. Таким образом, $\triangle MOX$ является прямоугольным треугольником с прямым углом при вершине $O$.

В этом прямоугольном треугольнике отношение катетов и угла $\alpha$ выражается через тангенс: $ \tan(\alpha) = \frac{MO}{OX} = \frac{h}{OX} $

Отсюда можем выразить расстояние $OX$: $ OX = \frac{h}{\tan(\alpha)} = h \cdot \cot(\alpha) $

Точка $O$ — это фиксированная точка в плоскости $π$ (как проекция фиксированной точки $M$). Расстояние $h$ и угол $\alpha$ — постоянные величины. Следовательно, расстояние $OX$ от фиксированной точки $O$ до любой искомой точки $X$ также является постоянной величиной. Множество всех точек $X$ в плоскости $π$, которые находятся на постоянном расстоянии от фиксированной точки $O$ в той же плоскости, является окружностью с центром в точке $O$.

Проанализируем результат в зависимости от значения угла $\alpha \in [0^\circ, 90^\circ]$:
1. Если $0^\circ < \alpha < 90^\circ$, то $OX = h \cdot \cot(\alpha)$ — положительное конечное число. В этом случае искомое геометрическое место точек — это окружность в плоскости $π$ с центром в точке $O$ (проекции точки $M$ на плоскость $π$) и радиусом $r = h \cdot \cot(\alpha)$.
2. Если $\alpha = 90^\circ$, то $\cot(90^\circ) = 0$, следовательно, $OX = 0$. Это означает, что точка $X$ совпадает с точкой $O$. Геометрическое место точек вырождается в одну точку — проекцию точки $M$ на плоскость $π$.
3. Если $\alpha = 0^\circ$, то $\tan(0^\circ) = 0$. Уравнение $0 = h/OX$ не имеет решений, так как $h > 0$. В этом случае искомое геометрическое место точек — пустое множество.

Ответ: Пусть $O$ — проекция точки $M$ на плоскость $π$, а $h = MO$ — расстояние от точки $M$ до плоскости $π$. Искомое геометрическое место точек зависит от данного угла $\alpha$:
• при $0^\circ < \alpha < 90^\circ$ — это окружность, лежащая в плоскости $π$, с центром в точке $O$ и радиусом $r = h \cdot \cot(\alpha)$;
• при $\alpha = 90^\circ$ — это единственная точка $O$;
• при $\alpha = 0^\circ$ — это пустое множество (таких точек не существует).