Номер 18.5, страница 191 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

18.5. Найдите ГМТ, равноудалённых от двух пересекающихся прямых.

Пусть даны две пересекающиеся прямые $a$ и $b$, которые пересекаются в точке $O$. Эти прямые делят плоскость на четыре угла.

Геометрическое место точек (ГМТ) — это множество всех точек, удовлетворяющих заданному свойству. В данном случае свойство точки $M$ заключается в том, что расстояние от нее до прямой $a$ равно расстоянию до прямой $b$.

Расстояние от точки до прямой — это длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на прямую.

Рассмотрим произвольную точку $M$, равноудаленную от прямых $a$ и $b$. Пусть $MA$ — перпендикуляр, опущенный из точки $M$ на прямую $a$ ($A \in a$), а $MB$ — перпендикуляр, опущенный из точки $M$ на прямую $b$ ($B \in b$). По условию, длина отрезка $MA$ равна длине отрезка $MB$, то есть $MA = MB$.

Рассмотрим прямоугольные треугольники $\triangle OAM$ и $\triangle OBM$ (углы $\angle OAM$ и $\angle OBM$ прямые, так как $MA$ и $MB$ — перпендикуляры). В этих треугольниках:

• Гипотенуза $OM$ — общая.
• Катет $MA$ равен катету $MB$ по условию.

Следовательно, прямоугольные треугольники $\triangle OAM$ и $\triangle OBM$ равны по гипотенузе и катету.

Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов: $\angle AOM = \angle BOM$. Это означает, что луч $OM$ является биссектрисой угла, образованного лучами, на которых лежат точки $A$ и $B$. Таким образом, любая точка $M$, равноудаленная от сторон угла, лежит на его биссектрисе.

Теперь докажем обратное утверждение. Пусть точка $M$ лежит на биссектрисе одного из углов, образованных прямыми $a$ и $b$. Опустим из точки $M$ перпендикуляры $MA$ на прямую $a$ и $MB$ на прямую $b$. Рассмотрим прямоугольные треугольники $\triangle OAM$ и $\triangle OBM$. В этих треугольниках:

• Гипотенуза $OM$ — общая.
• $\angle AOM = \angle BOM$, так как $OM$ — биссектриса.

Следовательно, треугольники $\triangle OAM$ и $\triangle OBM$ равны по гипотенузе и острому углу. Из их равенства следует, что $MA = MB$.

Таким образом, мы доказали, что геометрическое место точек внутри угла, равноудаленных от его сторон, есть биссектриса этого угла.

Две пересекающиеся прямые образуют две пары вертикальных углов. ГМТ для каждой пары вертикальных углов будет состоять из биссектрис этих углов, которые вместе образуют одну прямую, проходящую через точку пересечения $O$.

Следовательно, искомое ГМТ состоит из двух прямых — биссектрис двух пар вертикальных углов. Эти две прямые-биссектрисы проходят через точку пересечения исходных прямых и являются взаимно перпендикулярными, так как биссектрисы смежных углов перпендикулярны.

Ответ: Геометрическое место точек, равноудалённых от двух пересекающихся прямых, — это пара взаимно перпендикулярных прямых, которые являются биссектрисами углов, образованных данными прямыми.