Номер 17.32, страница 188 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

17.32. Окружность, вписанная в треугольник, точкой касания делит одну из сторон на отрезки, равные 3 см и 4 см, а противолежащий этой стороне угол равен $120^\circ$. Найдите площадь треугольника.

Пусть дан треугольник $ABC$, в который вписана окружность. Пусть точки касания окружности со сторонами $BC$, $AC$ и $AB$ — это $D$, $E$ и $F$ соответственно.По условию, точка касания делит одну из сторон на отрезки равные 3 см и 4 см. Пусть этой стороной будет $AB$, тогда $AF=3$ см и $FB=4$ см. Таким образом, длина стороны $c = AB = AF+FB = 3+4=7$ см. Противолежащий этой стороне угол $\angle C = 120^\circ$.

По свойству отрезков касательных, проведенных из одной вершины к вписанной окружности, имеем:

• $AE = AF = 3$ см
• $BD = BF = 4$ см

Обозначим равные отрезки касательных из вершины $C$ через $x$: $CE = CD = x$.Тогда длины двух других сторон треугольника равны:$a = BC = BD + DC = 4 + x$ см.$b = AC = AE + EC = 3 + x$ см.

Применим к треугольнику $ABC$ теорему косинусов для стороны $c$:$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(\angle C)$Подставим известные значения:$7^2 = (4+x)^2 + (3+x)^2 - 2(4+x)(3+x) \cos(120^\circ)$

Учитывая, что $\cos(120^\circ) = -0.5$, получим:$49 = (16 + 8x + x^2) + (9 + 6x + x^2) - 2(4+x)(3+x)(-\frac{1}{2})$$49 = 16 + 8x + x^2 + 9 + 6x + x^2 + (4+x)(3+x)$$49 = 2x^2 + 14x + 25 + (x^2 + 7x + 12)$$49 = 3x^2 + 21x + 37$

Приведем уравнение к стандартному квадратному виду:$3x^2 + 21x + 37 - 49 = 0$$3x^2 + 21x - 12 = 0$Разделим все уравнение на 3:$x^2 + 7x - 4 = 0$

Для нахождения площади треугольника воспользуемся формулой:$S = \frac{1}{2}ab \sin(\angle C)$Найдем произведение сторон $a$ и $b$:$ab = (4+x)(3+x) = x^2 + 7x + 12$.Из квадратного уравнения $x^2 + 7x - 4 = 0$ следует, что $x^2 + 7x = 4$.Подставим это значение в выражение для $ab$:$ab = 4 + 12 = 16$.

Теперь можем вычислить площадь треугольника, зная, что $\sin(120^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$:$S = \frac{1}{2} \cdot 16 \cdot \sin(120^\circ) = 8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3}$ см$^2$.

Ответ: $4\sqrt{3}$ см$^2$.