Номер 17.25, страница 187 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

Параграф 17. Многогранный угол. Трёхгранный угол. Глава 3. Перпендикулярность в пространстве - номер 17.25, страница 187.

Условие.

17.25. Докажите, что если все двугранные углы трёхгранного угла меньше $90^\circ$, то и все его плоские углы тоже меньше $90^\circ$.

Решение.

Решение 2.

Для доказательства данного утверждения воспользуемся соотношениями между плоскими и двугранными углами трехгранного угла, которые описываются теоремами косинусов для сферического треугольника.

Пусть $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ — плоские углы трехгранного угла, а $A$, $B$, $C$ — противолежащие им двугранные углы.

По условию задачи, все двугранные углы меньше $90^\circ$:

$A < 90^\circ, \quad B < 90^\circ, \quad C < 90^\circ$

Нужно доказать, что все плоские углы также меньше $90^\circ$:

$\alpha < 90^\circ, \quad \beta < 90^\circ, \quad \gamma < 90^\circ$

Вторая теорема косинусов для трехгранного угла связывает косинус плоского угла с косинусами и синусами трех двугранных углов. Для плоского угла $\alpha$ формула имеет вид:

$\cos \alpha = \frac{\cos A + \cos B \cos C}{\sin B \sin C}$

Проанализируем знак выражения в правой части этой формулы, исходя из заданных условий.

1. Знаменатель: $\sin B \sin C$. Двугранные углы $B$ и $C$ по определению находятся в интервале $(0^\circ, 180^\circ)$. По условию они острые, то есть $B \in (0^\circ, 90^\circ)$ и $C \in (0^\circ, 90^\circ)$. Синусы углов в этом диапазоне положительны, следовательно $\sin B > 0$ и $\sin C > 0$. Их произведение также положительно: $\sin B \sin C > 0$.

2. Числитель: $\cos A + \cos B \cos C$. По условию все двугранные углы $A, B, C$ являются острыми. Косинусы острых углов положительны: $\cos A > 0$, $\cos B > 0$ и $\cos C > 0$. Произведение двух положительных чисел $\cos B \cos C$ также будет положительным. Сумма двух положительных слагаемых, $\cos A$ и $(\cos B \cos C)$, является положительным числом. Таким образом, числитель $\cos A + \cos B \cos C > 0$.

Поскольку и числитель, и знаменатель дроби положительны, значение всей дроби положительно:

$\cos \alpha > 0$

Плоский угол $\alpha$ трехгранного угла по определению находится в интервале $(0^\circ, 180^\circ)$. Условие $\cos \alpha > 0$ выполняется только для острых углов, то есть для $0^\circ < \alpha < 90^\circ$. Следовательно, $\alpha < 90^\circ$.

Аналогичные рассуждения можно провести и для двух других плоских углов, $\beta$ и $\gamma$, используя соответствующие формулы:

$\cos \beta = \frac{\cos B + \cos A \cos C}{\sin A \sin C}$

$\cos \gamma = \frac{\cos C + \cos A \cos B}{\sin A \sin B}$

В обоих случаях, так как все двугранные углы $A, B, C$ острые, числители и знаменатели дробей будут положительными. Это означает, что $\cos \beta > 0$ и $\cos \gamma > 0$, из чего следует, что $\beta < 90^\circ$ и $\gamma < 90^\circ$.

Таким образом, доказано, что если все двугранные углы трехгранного угла меньше $90^\circ$, то и все его плоские углы тоже меньше $90^\circ$.

Ответ: Утверждение доказано.