Номер 17.23, страница 187 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

17.23. Докажите, что сумма всех двугранных углов произвольного тетраэдра больше $360^\circ$.

Рассмотрим произвольный тетраэдр. У тетраэдра 6 ребер и, соответственно, 6 двугранных углов при этих ребрах. Обозначим сумму величин всех этих двугранных углов через $S$. Требуется доказать, что $S > 360^{\circ}$.

В основе доказательства лежит рассмотрение трехгранных углов, образованных при каждой из четырех вершин тетраэдра.

Воспользуемся фундаментальной теоремой стереометрии о трехгранных углах: сумма двугранных углов любого выпуклого трехгранного угла больше $180^{\circ}$ (или $\pi$ радиан).

(Это свойство легко доказать с помощью сферической геометрии. Если в вершине трехгранного угла поместить центр сферы, то грани и ребра этого угла высекут на поверхности сферы сферический треугольник. Углы этого треугольника будут в точности равны двугранным углам исходного трехгранного угла. Как известно, сумма углов любого сферического треугольника всегда больше $180^{\circ}$.)

Применим данную теорему к каждому из четырех трехгранных углов тетраэдра. Пусть вершины тетраэдра — $A, B, C, D$, а двугранные углы при ребрах, выходящих из этих вершин, образуют следующие суммы:

Для трехгранного угла при вершине $A$: $\alpha_{AB} + \alpha_{AC} + \alpha_{AD} > 180^{\circ}$.
Для трехгранного угла при вершине $B$: $\alpha_{AB} + \alpha_{BC} + \alpha_{BD} > 180^{\circ}$.
Для трехгранного угла при вершине $C$: $\alpha_{AC} + \alpha_{BC} + \alpha_{CD} > 180^{\circ}$.
Для трехгранного угла при вершине $D$: $\alpha_{AD} + \alpha_{BD} + \alpha_{CD} > 180^{\circ}$.

Теперь сложим все четыре полученных неравенства. В правой части получим сумму $4 \cdot 180^{\circ} = 720^{\circ}$.

Рассмотрим левую часть. Каждый двугранный угол тетраэдра связан с одним ребром, а каждое ребро соединяет две вершины. Следовательно, каждый двугранный угол входит в состав ровно двух трехгранных углов. Например, двугранный угол при ребре $AB$ (обозначенный $\alpha_{AB}$) является частью трехгранных углов при вершинах $A$ и $B$. Поэтому при сложении неравенств каждый из шести двугранных углов тетраэдра будет посчитан дважды.

Таким образом, сумма в левой части равна удвоенной сумме всех двугранных углов тетраэдра, то есть $2S$:

$2(\alpha_{AB} + \alpha_{AC} + \alpha_{AD} + \alpha_{BC} + \alpha_{BD} + \alpha_{CD}) > 720^{\circ}$

Или, в наших обозначениях:

$2S > 720^{\circ}$

Разделив обе части неравенства на 2, получаем окончательный результат:

$S > 360^{\circ}$

Таким образом, доказано, что сумма всех двугранных углов произвольного тетраэдра больше $360^{\circ}$.

Ответ: Утверждение доказано.