Номер 17.22, страница 187 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

17.22. Докажите, что сумма двугранных углов трёхгранного угла больше $180^\circ$.

Рассмотрим произвольный трёхгранный угол с вершиной $S$. Обозначим его рёбра как $l_1, l_2, l_3$. Двугранными углами этого трёхгранного угла являются углы между его гранями. Обозначим величины этих двугранных углов как $A, B, C$. Нам необходимо доказать, что их сумма всегда больше $180^\circ$, то есть $A + B + C > 180^\circ$.

Для доказательства этого утверждения воспользуемся методом полярного (или сопряжённого) трёхгранного угла. Построим из вершины $S$ три луча $l'_1, l'_2, l'_3$, перпендикулярные граням исходного угла. А именно:
- луч $l'_1$ перпендикулярен плоскости грани, образованной рёбрами $l_2$ и $l_3$;
- луч $l'_2$ перпендикулярен плоскости грани, образованной рёбрами $l_1$ и $l_3$;
- луч $l'_3$ перпендикулярен плоскости грани, образованной рёбрами $l_1$ и $l_2$.
Эти три луча образуют новый трёхгранный угол, который называется полярным к исходному.

Пусть плоские углы полярного трёхгранного угла равны $A', B', C'$. Существует фундаментальное свойство, связывающее углы исходного и полярного трёхгранных углов: плоские углы полярного трёхгранного угла дополняют соответствующие двугранные углы исходного трёхгранного угла до $180^\circ$. Таким образом, справедливы следующие равенства:
$A' = 180^\circ - A$
$B' = 180^\circ - B$
$C' = 180^\circ - C$

В стереометрии известна теорема о том, что сумма плоских углов любого трёхгранного угла всегда меньше $360^\circ$. Применим эту теорему к построенному нами полярному трёхгранному углу:

$A' + B' + C' < 360^\circ$

Теперь подставим в это неравенство выражения для $A', B', C'$ через $A, B, C$:

$(180^\circ - A) + (180^\circ - B) + (180^\circ - C) < 360^\circ$

Раскроем скобки и упростим полученное выражение:

$540^\circ - A - B - C < 360^\circ$

$540^\circ - (A + B + C) < 360^\circ$

Теперь выразим из неравенства сумму $A + B + C$:

$540^\circ - 360^\circ < A + B + C$

$180^\circ < A + B + C$

Таким образом, мы доказали, что сумма двугранных углов трёхгранного угла всегда больше $180^\circ$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Сумма двугранных углов трёхгранного угла действительно всегда больше $180^\circ$.