Номер 17.19, страница 187 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

17.19. В тетраэдре DABC известно, что $AB = CD$, $BC = AD$, $CA = BD$. Докажите, что все грани данного тетраэдра — остроугольные треугольники.

Пусть в тетраэдре $DABC$ длины ребер равны: $AB = CD = a$, $BC = AD = b$, $CA = BD = c$.

Рассмотрим грани тетраэдра:

• Грань $ABC$ имеет стороны $AB=a$, $BC=b$, $CA=c$.
• Грань $ADC$ имеет стороны $AD=b$, $CD=a$, $AC=c$.
• Грань $ABD$ имеет стороны $AB=a$, $BD=c$, $AD=b$.
• Грань $BCD$ имеет стороны $BC=b$, $CD=a$, $BD=c$.

Все четыре грани являются треугольниками со сторонами $a, b, c$. Следовательно, все грани тетраэдра — равные между собой треугольники. Для доказательства того, что все они являются остроугольными, достаточно доказать, что один из них, например треугольник $ABC$, является остроугольным.

Треугольник является остроугольным, если квадрат любой его стороны меньше суммы квадратов двух других сторон. Для треугольника со сторонами $a, b, c$ должны выполняться три неравенства:

$a^2 + b^2 > c^2$

$b^2 + c^2 > a^2$

$c^2 + a^2 > b^2$

Для доказательства этих неравенств воспользуемся векторным методом. Поместим вершину $A$ тетраэдра в начало координат. Пусть $\vec{u} = \vec{AB}$, $\vec{v} = \vec{AC}$ и $\vec{w} = \vec{AD}$.

Тогда квадраты длин ребер, выходящих из вершины $A$, равны:

$AB^2 = |\vec{u}|^2 = a^2$

$AC^2 = |\vec{v}|^2 = c^2$

$AD^2 = |\vec{w}|^2 = b^2$

Выразим квадраты длин остальных ребер через эти векторы:

$BC^2 = |\vec{AC} - \vec{AB}|^2 = |\vec{v} - \vec{u}|^2 = |\vec{v}|^2 + |\vec{u}|^2 - 2(\vec{u} \cdot \vec{v}) = c^2 + a^2 - 2(\vec{u} \cdot \vec{v})$

$BD^2 = |\vec{AD} - \vec{AB}|^2 = |\vec{w} - \vec{u}|^2 = |\vec{w}|^2 + |\vec{u}|^2 - 2(\vec{u} \cdot \vec{w}) = b^2 + a^2 - 2(\vec{u} \cdot \vec{w})$

$CD^2 = |\vec{AD} - \vec{AC}|^2 = |\vec{w} - \vec{v}|^2 = |\vec{w}|^2 + |\vec{v}|^2 - 2(\vec{v} \cdot \vec{w}) = b^2 + c^2 - 2(\vec{v} \cdot \vec{w})$

Используем условия из задачи:

$BC^2 = b^2 \implies c^2 + a^2 - 2(\vec{u} \cdot \vec{v}) = b^2 \implies 2(\vec{u} \cdot \vec{v}) = a^2 + c^2 - b^2$

$BD^2 = c^2 \implies b^2 + a^2 - 2(\vec{u} \cdot \vec{w}) = c^2 \implies 2(\vec{u} \cdot \vec{w}) = a^2 + b^2 - c^2$

$CD^2 = a^2 \implies b^2 + c^2 - 2(\vec{v} \cdot \vec{w}) = a^2 \implies 2(\vec{v} \cdot \vec{w}) = b^2 + c^2 - a^2$

Так как $A, B, C, D$ — вершины тетраэдра, векторы $\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}$ некомпланарны (не лежат в одной плоскости). Это означает, что объем тетраэдра, а следовательно, и объем параллелепипеда, построенного на этих векторах, не равен нулю. Квадрат объема параллелепипеда равен определителю матрицы Грама, составленной из скалярных произведений векторов. Условие невырожденности тетраэдра означает, что определитель матрицы Грама строго положителен.

$G = \begin{pmatrix} \vec{u} \cdot \vec{u} & \vec{u} \cdot \vec{v} & \vec{u} \cdot \vec{w} \\ \vec{v} \cdot \vec{u} & \vec{v} \cdot \vec{v} & \vec{v} \cdot \vec{w} \\ \vec{w} \cdot \vec{u} & \vec{w} \cdot \vec{v} & \vec{w} \cdot \vec{w} \end{pmatrix}$

$\det(G) > 0$

Подставим найденные выражения:

$\det(G) = \begin{vmatrix} a^2 & \frac{a^2+c^2-b^2}{2} & \frac{a^2+b^2-c^2}{2} \\ \frac{a^2+c^2-b^2}{2} & c^2 & \frac{b^2+c^2-a^2}{2} \\ \frac{a^2+b^2-c^2}{2} & \frac{b^2+c^2-a^2}{2} & b^2 \end{vmatrix} > 0$

Вычисление этого определителя дает результат:

$\det(G) = \frac{1}{2}(a^2+b^2-c^2)(b^2+c^2-a^2)(c^2+a^2-b^2)$

Таким образом, мы имеем неравенство:

$(a^2+b^2-c^2)(b^2+c^2-a^2)(c^2+a^2-b^2) > 0$

Произведение трех множителей положительно. Это возможно в двух случаях:

1. Все три множителя положительны.

2. Один множитель положителен, а два других отрицательны.

Рассмотрим второй случай. Пусть, например:

$a^2+b^2-c^2 > 0$

$b^2+c^2-a^2 < 0 \implies b^2+c^2 < a^2$

$c^2+a^2-b^2 < 0 \implies c^2+a^2 < b^2$

Сложим два последних неравенства:

$(b^2+c^2) + (c^2+a^2) < a^2 + b^2$

$a^2+b^2+2c^2 < a^2+b^2$

$2c^2 < 0$

Это неравенство невозможно, так как $c$ — длина ребра, и $c^2$ не может быть отрицательным. Следовательно, второй случай невозможен.

Остается единственный возможный случай, когда все три множителя положительны:

$a^2+b^2-c^2 > 0 \implies a^2+b^2 > c^2$

$b^2+c^2-a^2 > 0 \implies b^2+c^2 > a^2$

$c^2+a^2-b^2 > 0 \implies c^2+a^2 > b^2$

Эти три неравенства являются условиями того, что треугольник со сторонами $a, b, c$ является остроугольным. Поскольку все грани тетраэдра являются равными треугольниками с такими сторонами, все они являются остроугольными.

Ответ: Что и требовалось доказать.