Номер 17.20, страница 187 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

17.20. Плоские углы $ASB$, $BSC$ и $CSA$ трёхгранного угла $SABC$ равны $\alpha$, $\beta$ и $\gamma$ соответственно. Двугранные углы при рёбрах $SA$, $SB$ и $SC$ равны $\alpha_1$, $\beta_1$ и $\gamma_1$ соответственно. Из точки $M$, принадлежащей данному трёхгранному углу, на грани $BSC$, $CSA$ и $ASB$ соответственно опустили перпендикуляры $MA_1$, $MB_1$ и $MC_1$. Найдите плоские и двугранные углы трёхгранного угла $MA_1B_1C_1$.

Трёхгранный угол $MA_1B_1C_1$ является полярным (или дополнительным) к трёхгранному углу $SABC$. Это следует из того, что его рёбра $MA_1$, $MB_1$ и $MC_1$ по построению перпендикулярны граням $BSC$, $CSA$ и $ASB$ исходного трёхгранного угла $SABC$.

Основное свойство полярных трёхгранных углов заключается в том, что плоские углы одного из них дополняют до $\pi$ (180°) соответствующие двугранные углы другого, а двугранные углы первого дополняют до $\pi$ соответствующие плоские углы второго. Воспользуемся этим свойством для нахождения искомых углов.

Плоские углы трёхгранного угла $MA_1B_1C_1$ соответствуют двугранным углам трёхгранного угла $SABC$.

1. Плоский угол $\angle B_1MC_1$ образован лучами $MB_1$ и $MC_1$. Луч $MB_1$ перпендикулярен грани $CSA$, а луч $MC_1$ перпендикулярен грани $ASB$. Эти грани образуют двугранный угол при ребре $SA$, равный $\alpha_1$. Угол между перпендикулярами к плоскостям (лучами $MB_1$ и $MC_1$) и двугранным углом между самими плоскостями является дополнительным до $\pi$. Таким образом, плоский угол $\angle B_1MC_1$ равен $\pi - \alpha_1$.

2. Аналогично, для плоского угла $\angle C_1MA_1$: его лучи $MC_1$ и $MA_1$ перпендикулярны граням $ASB$ и $BSC$ соответственно. Эти грани образуют двугранный угол при ребре $SB$, равный $\beta_1$. Следовательно, плоский угол $\angle C_1MA_1$ равен $\pi - \beta_1$.

3. Для плоского угла $\angle A_1MB_1$: его лучи $MA_1$ и $MB_1$ перпендикулярны граням $BSC$ и $CSA$ соответственно. Эти грани образуют двугранный угол при ребре $SC$, равный $\gamma_1$. Следовательно, плоский угол $\angle A_1MB_1$ равен $\pi - \gamma_1$.

Ответ: Плоские углы трёхгранного угла $MA_1B_1C_1$ равны $\pi - \alpha_1$, $\pi - \beta_1$ и $\pi - \gamma_1$.

Двугранные углы трёхгранного угла $MA_1B_1C_1$ соответствуют плоским углам трёхгранного угла $SABC$.

1. Двугранный угол при ребре $MA_1$. Ребро $MA_1$ полярного угла перпендикулярно грани $BSC$ исходного угла. Плоский угол этой грани есть $\angle BSC = \beta$. Согласно свойству полярных углов, искомый двугранный угол дополняет этот плоский угол до $\pi$. Таким образом, двугранный угол при ребре $MA_1$ равен $\pi - \beta$.

2. Двугранный угол при ребре $MB_1$. Ребро $MB_1$ перпендикулярно грани $CSA$, плоский угол которой равен $\angle CSA = \gamma$. Следовательно, двугранный угол при ребре $MB_1$ равен $\pi - \gamma$.

3. Двугранный угол при ребре $MC_1$. Ребро $MC_1$ перпендикулярно грани $ASB$, плоский угол которой равен $\angle ASB = \alpha$. Следовательно, двугранный угол при ребре $MC_1$ равен $\pi - \alpha$.

Ответ: Двугранные углы трёхгранного угла $MA_1B_1C_1$ при рёбрах $MA_1$, $MB_1$ и $MC_1$ равны соответственно $\pi - \beta$, $\pi - \gamma$ и $\pi - \alpha$.