Номер 17.30, страница 188 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

Параграф 17. Многогранный угол. Трёхгранный угол. Глава 3. Перпендикулярность в пространстве - номер 17.30, страница 188.

Условие.

17.30. Сумма плоских углов некоторого $n$-гранного угла равна сумме его двугранных углов. Докажите, что $n = 3$.

Решение.

Решение 2.

Пусть $S_p$ — это сумма плоских углов $n$-гранного угла, а $S_d$ — это сумма его двугранных углов.По условию задачи, $S_p = S_d$.

Для любого выпуклого $n$-гранного угла ($n \ge 3$) справедливы два фундаментальных неравенства:

1. Сумма всех плоских углов меньше $2\pi$ (или 360°). Это необходимое условие существования многогранного угла.
$S_p < 2\pi$

2. Сумма всех двугранных углов больше $\pi(n-2)$ (или $180°(n-2)$). Это следует из теоремы о площади сферического многоугольника, который высекается многогранным углом на сфере с центром в его вершине. Площадь этого многоугольника положительна, а она равна $S_d - \pi(n-2)$.
$S_d > \pi(n-2)$

Теперь объединим эти три факта в систему:
$\begin{cases}S_p = S_d \\S_p < 2\pi \\S_d > \pi(n-2)\end{cases}$

Используя первое равенство, мы можем подставить $S_p$ вместо $S_d$ в третье неравенство:
$S_p > \pi(n-2)$

Теперь у нас есть двойное неравенство для $S_p$:
$\pi(n-2) < S_p < 2\pi$

Из этого двойного неравенства следует, что:
$\pi(n-2) < 2\pi$

Разделим обе части неравенства на $\pi$ (поскольку $\pi > 0$, знак неравенства не меняется):
$n-2 < 2$
$n < 4$

По определению, $n$-гранный угол существует при $n \ge 3$. Учитывая это условие и полученное неравенство $n < 4$, единственным целым числом, удовлетворяющим обоим условиям, является $n=3$.

Таким образом, мы доказали, что если сумма плоских углов $n$-гранного угла равна сумме его двугранных углов, то $n$ должно быть равно 3.
Ответ: Что и требовалось доказать.