Номер 18.11, страница 192 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

18.11. Даны параллельные плоскости $\alpha$ и $\beta$. Найдите ГМТ, расстояния от которых до плоскости $\alpha$ в три раза больше, чем до плоскости $\beta$.

Пусть $M$ — произвольная точка искомого геометрического места точек (ГМТ). Обозначим расстояние от точки $M$ до плоскости $\alpha$ как $d(M, \alpha)$, а расстояние до плоскости $\beta$ как $d(M, \beta)$. Согласно условию задачи, для точки $M$ должно выполняться равенство:

$d(M, \alpha) = 3 \cdot d(M, \beta)$

Пусть расстояние между данными параллельными плоскостями $\alpha$ и $\beta$ равно $h$. Рассмотрим все возможные расположения точки $M$ в пространстве относительно этих плоскостей. Для анализа удобно провести через произвольную точку $M$ прямую, перпендикулярную плоскостям $\alpha$ и $\beta$. Пусть эта прямая пересекает $\alpha$ в точке $A$, а $\beta$ в точке $B$. Тогда $d(M, \alpha) = MA$, $d(M, \beta) = MB$, а расстояние между плоскостями $h = AB$.

Случай 1: Точка M находится между плоскостями $\alpha$ и $\beta$.

В этом случае точка $M$ лежит на отрезке $AB$. Тогда сумма расстояний от $M$ до плоскостей равна расстоянию между плоскостями: $MA + MB = AB = h$.

Используя условие задачи $MA = 3 \cdot MB$, подставим его в предыдущее равенство:

$3 \cdot MB + MB = h$

$4 \cdot MB = h$

$MB = \frac{h}{4}$

Таким образом, расстояние от точки $M$ до плоскости $\beta$ равно $\frac{h}{4}$. Расстояние до плоскости $\alpha$ будет $MA = h - \frac{h}{4} = \frac{3h}{4}$, что удовлетворяет условию $MA = 3 \cdot MB$.

Множество всех таких точек образует плоскость, параллельную $\alpha$ и $\beta$, расположенную между ними и делящую расстояние между ними в отношении $3:1$, считая от плоскости $\alpha$.

Случай 2: Точка M находится вне пространства между плоскостями $\alpha$ и $\beta$.

Здесь возможны два варианта.

а) Плоскость $\beta$ находится между точкой $M$ и плоскостью $\alpha$.

В этом случае точка $B$ лежит на отрезке $MA$. Тогда расстояние от $M$ до $\alpha$ равно сумме расстояния от $M$ до $\beta$ и расстояния между плоскостями: $MA = MB + AB = MB + h$.

Подставим это выражение в условие задачи $MA = 3 \cdot MB$:

$MB + h = 3 \cdot MB$

$h = 2 \cdot MB$

$MB = \frac{h}{2}$

В этом случае расстояние от точки $M$ до плоскости $\beta$ равно $\frac{h}{2}$. Расстояние до плоскости $\alpha$ будет $MA = \frac{h}{2} + h = \frac{3h}{2}$, что удовлетворяет условию $MA = 3 \cdot MB$.

Множество таких точек образует еще одну плоскость, параллельную $\alpha$ и $\beta$, но расположенную вне полосы между ними, со стороны плоскости $\beta$.

б) Плоскость $\alpha$ находится между точкой $M$ и плоскостью $\beta$.

В этом случае точка $A$ лежит на отрезке $MB$. Тогда $MB = MA + AB = MA + h$.

Подставим это в условие $MA = 3 \cdot MB$:

$MA = 3 \cdot (MA + h)$

$MA = 3 \cdot MA + 3h$

$-2 \cdot MA = 3h$

$MA = -\frac{3h}{2}$

Так как расстояние не может быть отрицательной величиной, этот случай невозможен. Это означает, что не существует точек, удовлетворяющих условию, для которых плоскость $\alpha$ находилась бы между ними и плоскостью $\beta$.

Таким образом, искомое геометрическое место точек состоит из двух плоскостей.

Ответ: Искомое геометрическое место точек — это две плоскости, параллельные плоскостям $\alpha$ и $\beta$. Первая плоскость находится между $\alpha$ и $\beta$ и делит расстояние между ними в отношении $3:1$ (считая от плоскости $\alpha$ к плоскости $\beta$). Вторая плоскость находится вне пространства между $\alpha$ и $\beta$, со стороны плоскости $\beta$, на расстоянии от $\beta$, равном половине расстояния между $\alpha$ и $\beta$.