Номер 18.17, страница 192 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

18.17. Через вершины $A$ и $C$ треугольника $ABC$ проведены прямые, перпендикулярные биссектрисе угла $ABC$ и пересекающие прямые $BC$ и $AB$ в точках $K$ и $M$ соответственно. Найдите сторону $AB$, если $BM = 8$ см, $KC = 1$ см.

Пусть $BL$ — биссектриса угла $ABC$. По условию, через вершину $A$ проведена прямая, перпендикулярная $BL$, которая пересекает прямую $BC$ в точке $K$. Обозначим точку пересечения этой прямой с биссектрисой $BL$ как $P$.

Рассмотрим треугольник $ABK$. В этом треугольнике отрезок $BP$ является одновременно биссектрисой угла $ABK$ (так как $L$ лежит на биссектрисе угла $ABC$, а $K$ на прямой $BC$) и высотой, проведенной к стороне $AK$ (так как $AK \perp BL$ по условию). Треугольник, в котором биссектриса является высотой, является равнобедренным. Следовательно, треугольник $ABK$ — равнобедренный, и $AB = BK$.

Аналогично, через вершину $C$ проведена прямая, перпендикулярная биссектрисе $BL$, которая пересекает прямую $AB$ в точке $M$. Обозначим точку пересечения этой прямой с биссектрисой $BL$ как $Q$. Рассмотрим треугольник $CBM$. В нем $BQ$ является биссектрисой угла $CBM$ и высотой к стороне $CM$. Следовательно, треугольник $CBM$ также является равнобедренным, и $BC = BM$.

Из условия задачи нам известно, что $BM = 8$ см. Так как $BC = BM$, то $BC = 8$ см.

Точка $K$ лежит на прямой $BC$. Возможны два случая расположения точки $K$ относительно точек $B$ и $C$:

1. Точка $C$ лежит между точками $B$ и $K$.
2. Точка $K$ лежит между точками $B$ и $C$.

Рассмотрим первый случай, который соответствует стандартному расположению точек в подобных задачах. Если точка $C$ лежит между $B$ и $K$, то длина отрезка $BK$ равна сумме длин отрезков $BC$ и $CK$:

$BK = BC + CK$

Подставляя известные значения $BC = 8$ см и $KC = 1$ см, получаем:

$BK = 8 + 1 = 9$ см.

Поскольку мы ранее установили, что $AB = BK$, то сторона $AB$ равна:

$AB = 9$ см.

(Во втором случае, если бы точка $K$ лежала между $B$ и $C$, то $BK = BC - KC = 8 - 1 = 7$ см, и тогда $AB = 7$ см. Оба случая математически возможны, но традиционно в таких задачах подразумевается конфигурация, приводящая к одному решению).

Ответ: 9 см.