Номер 19.3, страница 206 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

19.3. Докажите, что в любой призме количество вершин является чётным числом, а количество рёбер — числом, кратным 3.

Доказательство состоит из двух частей, в соответствии с утверждениями в задаче.

Доказательство того, что количество вершин является чётным числом

Рассмотрим произвольную призму. Основанием любой призмы является многоугольник. Пусть в основании призмы лежит $n$-угольник, где $n$ — это количество вершин (и сторон) многоугольника. По определению многоугольника, $n$ является натуральным числом, $n \ge 3$.
Призма имеет два одинаковых основания: верхнее и нижнее. Каждое основание является $n$-угольником и, следовательно, имеет $n$ вершин.
Все вершины призмы — это вершины её оснований. Таким образом, общее количество вершин призмы $V$ равно сумме количества вершин в верхнем и нижнем основаниях.
$V = n (\text{вершин нижнего основания}) + n (\text{вершин верхнего основания}) = 2n$.
Поскольку $n$ — целое число, то число $V = 2n$ по определению является чётным числом.
Таким образом, в любой призме количество вершин является чётным числом.
Ответ: Количество вершин в $n$-угольной призме равно $2n$, что является чётным числом для любого целого $n \ge 3$.

Доказательство того, что количество рёбер является числом, кратным 3

Рассмотрим ту же $n$-угольную призму. Рёбра призмы можно разделить на три группы: рёбра нижнего основания, рёбра верхнего основания и боковые рёбра, соединяющие основания.
Нижнее основание, как $n$-угольник, имеет $n$ рёбер.
Верхнее основание, также являясь $n$-угольником, имеет $n$ рёбер.
Боковые рёбра соединяют соответствующие вершины верхнего и нижнего оснований. Поскольку в каждом основании по $n$ вершин, то количество боковых рёбер также равно $n$.
Общее количество рёбер призмы $E$ равно сумме рёбер в основаниях и боковых рёбер.
$E = n (\text{рёбер нижнего основания}) + n (\text{рёбер верхнего основания}) + n (\text{боковых рёбер}) = 3n$.
Поскольку $n$ — целое число, то число $E = 3n$ по определению делится на 3 без остатка, то есть является кратным 3.
Таким образом, в любой призме количество рёбер является числом, кратным 3.
Ответ: Количество рёбер в $n$-угольной призме равно $3n$, что является числом, кратным 3, для любого целого $n \ge 3$.